Quantenmechanik

visualisiert und animiert

Welle-Teilchen-Dualismus

  1. Zweidimensionale Wellen
  2. Beschreibung der Interferenz
  3. Das deBroglieModell

Zweidimensionale Wellen

Ein mathematisches Modell

Problemstellung

Wir wollen das Interferenzmuster, das bei der Streuung von Teilchen am Doppelspalt entsteht, mathematisch beschreiben.
Wir wollen gar nicht versuchen, eine Erklärung dieses Effektes abzugeben, sondern begnügen uns mit einer möglichst genauen Beschreibung. Zu diesem Zweck betrachten wir zunächst einmal einen Teilchenstrahl mit konstanter Teilchendichte:
Teilchendichte = D (eine Konstante > 0).
Wenn man einen zweiten Strahl mit Teilchendichte D' mit dem ersten Strahl zur Überlagerung bringt, erwartet man nach der klassischen Physik die Summe der Teilchendichten D+D' im kombinierten Teilchenstrahl. Das Auftreten von Interferenzmustern zeigt aber, dass diese Vorstellung falsch ist.

Beobachtung

Die resultierende Teilchendichte Dres bei Überlagerung zweier Teilstrahlen ist nicht die Summe der Einzeldichten:
Dres ≠ D + D'.

Statt dessen zeigt die Teilchendichte ähnliche Schwankungen wie die Intensität von Wellen bei Interferenz.

Wir müssen einem Teilchenstrahl daher gewisse Eigenschaften einer Welle zubilligen. Unser mathematisches Modell von einem Teilchenstrahl wird also Begriffe aus der Mathematik von Wellenvorgängen verwenden.

Zur Erinnerung

Eine Sinuswelle wird durch die Formel
u(x,t) = A sin(kx - ωt + d)
beschrieben. Die Größe A heisst die Amplitude der Welle. Das Argument der Sinusfunktion ist ein orts- und zeitabhängiger "Phasenwinkel" a = kx - ωt + d. Die Größe d beschreibt die "Phasenverschiebung". Der Betrag B = |u| der Wellengröße hängt von Ort und Zeit nur über den Phasenwinkel a ab.

Mathematische Modellierung

Wir wollen nun die Bewegung eines Teilchenstrahls ebenfalls durch eine "Wellengröße" beschreiben. Wir nennen diese Größe ψ (sprich: "psi"). Diese Größe ψ soll einerseits die Teilchendichte beschreiben, und sich andererseits wellenförmig durch den Raum fortpflanzen. An einem einzelnen Teilchenstrahl soll die wellige Struktur aber gar nicht sichtbar sein, erst bei Überlagerung zweier Teilchenstrahlen soll sich die Wellennatur durch Interferenz bemerkbar machen. Wir fordern von unserem mathematischen Modell also, dass es unbeobachtbare Bestandteile hat! Das ist ein neuer Gedanke, der so in der klassischen Physik bisher noch nicht aufgetaucht ist!
Was ist eigentlich ein mathematisches Modell?
Ein mathematisches Modell ist eine Sammlung mathematischer Größen und Beziehungen, die Beobachtungen und Messungen, die man innerhalb eines bestimmten Erfahrungsbereiches gemacht hat, beschreiben sollen. Das Ziel ist, aus mathematischen Überlegungen (Berechnungen) Vorhersagen über weitere Beobachtungen zu machen. Die Verbindung zwischen mathematischen Größen und Beobachtungen wird durch Interpretationsregeln definiert. Es müssen aber keineswegs alle mathematischen Größen, die bei den Berechnungen nötig sind, oder die als Zwischenresultate auftauchen, eine direkte Interpretation haben.

Ein Wellenmodell für Teilchenstrahlen

Wie die klassische Sinuswelle wird auch die Wellengröße ψ unseres Modells durch zwei Größen charakterisiert sein, und zwar durch
einen Betrag B = |ψ|,
einen Phasenwinkel a.
Mit Hilfe des Phasenwinkels sollen die Welleneigenschaften des Teilchenstrahls und letztlich die Interferenz beschrieben werden.
Mit dem Betrag B wollen wir die Teilchendichte beschreiben. Wenn keine Interferenz stattfindet, soll die Teilchendichte (also der Betrag B) aber konstant bleiben und nicht periodisch wie die Höhe einer Welle schwanken. Der Phasenwinkel soll also in diesem Fall unbemerkt bleiben.
Während sich also der Phasenwinkel, wie bei einer Welle, periodisch ändert, soll hingegen der Betrag sogar eventuell sogar konstant bleiben. Anders als bei der Sinuswelle muss sich der Phasenwinkel sich also unabhängig vom Betrag ändern können. Wie können wir das erreichen? Fassen wir zusammen:

Forderungen an das Wellenmodell

Die Verteilung von Teilchen in einem Teilchenstrahl soll durch eine "Wellengröße" ψ beschrieben werden. Die Größe ψ soll durch einen Betrag B=|ψ| und einen davon unabhängigen Phasenwinkel a charakterisiert werden.
Die Teilchendichte soll durch die Intensität der Welle beschrieben werden (also durch das Quadrat des Betrages):
Teilchendichte η = |ψ|2.
Der Phasenwinkel a soll die Beschreibung der Interferenz ermöglichen, soll aber selbst nicht beobachtbar sein.


Betrag und Phasenwinkel: Vektoren

Bei einer Sinuswelle ist der Betrag der Wellengröße, B = | A sin(kx - ωt) |, eine Funktion des Phasenwinkels a = kx - ωt. Aber jetzt wollen wir einen Wellenvorgang beschreiben, bei dem der Betrag B der Wellengröße unabhängig vom Phasenwinkel a ist.
Idee: Wir können das erreichen, wenn wir die Wellengröße als einen zweidimensionalen Vektor betrachten.
Ein Vektor wird durch eine Länge (= Betrag) und durch eine Richtung gekennzeichnet. Eine Richtung in zwei Dimensionen wird einfach durch einen Winkel angegeben (zB. durch den Winkel mit der horizontalen Achse eines gedachten kartesischen Koordinatensystems).

Abbildung 1: Ein Vektor ist eine Größe, die durch einen Betrag und
                           eine Richtung beschrieben wird.

Abbildung 1: Ein Vektor ist eine Größe, die durch einen Betrag und eine Richtung beschrieben wird.

Aus einem gegebenen Betrag B und einem Phasenwinkel a können wir einen zweidimensionalen Vektor konstruieren, wenn wir B als Länge des Vektors, und a als dessen Richtungswinkel interpretieren.
Mit Vektoren können wir nun z.B. eine ortsabhängige Größe beschreiben, deren Betrag B überall konstant ist, während sich die Richtung von Ort zu Ort ändert. Im folgenden Bild wird das veranschaulicht:

Abbildung 2: Eine Größe mit überall konstantem Betrag und von Ort zu
                           Ort variierender Richtung.

Abbildung 2: Eine Größe mit überall konstantem Betrag und von Ort zu Ort variierender Richtung.

In diesem Bild beschreibt die horizontale Achse die Raumkoordinate x. Die beiden dazu senkrechten Richtungen, in denen der Vektorpfeil gezeichnet ist, sind keine Richtungen im Raum, sondern Dimensionen des mathematischen Modells. An jedem Punkt des Raumes definiert das mathematische Modell eine zweidimensionale Wellengröße, die hier durch einen Vektor veranschaulicht wird.


Welle mit zweidimensionaler Wellengröße

Video: Eine vektorielle Welle: Die hier dargestellte Erregung wird durch einen zweidimensionalen Vektor beschrieben. Seine Länge (die Intensität der Welle) ist überall gleich, nur die Richtungsänderungen pflanzen sich wellenartig fort.

Wir betrachten eine Welle, die durch eine orts- und zeitabhängige zweidimensionale Größe (Vektor) beschrieben wird. An jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt soll der Betrag des Vektors konstant sein. Die Richtung des Vektors soll sich aber in Abhängigkeit von Ort und Zeit ändern.
Wenn die räumliche und zeitliche Abhängigkeit der Richtung durch den Winkel
a = kx - ωt
beschrieben wird (mit geeigneten Zahlen k und ω) so erhalten wir die in der Animation dargestellte Welle

Beachte

Im Film ist der Betrag der Vektoren überall konstant. Die Wellennatur der Bewegung kommt nur vom Winkel a.
Der Winkel a ist im Bogenmaß gegeben. Die Zahlen a und a + 2πk (wobei k eine beliebige ganze Zahl ist) beschreiben denselben Winkel.


Interferenz von vektorwertigen Wellengrößen

Die Interferenz von Wellen, deren Wellengrößen durch Vektoren charakterisiert wird, kann durch "vektorielle Addition" beschrieben werden. Dabei ergeben sich neue Möglichkeiten.
Wenn sich zwei solche Wellen im selben Raumgebiet befinden, werden dort bei der Überlagerung die Wellengrößen n jedem Raumpunkt einfach addiert (sog. lineare Superposition). Dabei werden die Regeln der Vektoraddition angewendet. Dadurch kann es zur Auslöschung kommen, wenn die Wellengrößen der Teilwellen entgegengesetzte Richtungen haben. Zwei Vektoren mit exakt demselben Betrag, aber entgegengesetzten Richtungen heben sich gegenseitig auf (Auslöschung). Bei Addition von Vektoren mit derselben Richtung addieren sich hingegen die Beträge.

 Abbildung 3: Addition von zweidimensionalen Wellengrößen (Vektoren)
                           an einem gegebenen Raumpunkt: Links - Verstärkung bei
                           annähernd parallelgerichteten Wellengrößen. Rechts -
                           Abschwächung bei annähernd entgegengesetzten Wellengrößen

Abbildung 3: Addition von zweidimensionalen Wellengrößen (Vektoren) an einem gegebenen Raumpunkt: Links - Verstärkung bei annähernd parallelgerichteten Wellengrößen. Rechts - Abschwächung bei annähernd entgegengesetzten Wellengrößen

Die Visualisierung einer Welle mit zweidimensionaler Wellengröße mit Hilfe von Richtungspfeilen ist für kompliziertere Situationen (zB Wellenausbreitung in mehrere Richtungen wie im Doppelspaltexperiment) nicht brauchbar. Wir werden daher einen anderen Weg beschreiten, um den Phasenwinkel zu visualisieren.


Visualisierung von Richtungen - der Farbkreis

Video: Der Farbkreis: Jedem Winkel, d.h. jeder Richtung in der Ebene wird ein eindeutiger Farbton zugewiesen.

Farben können periodisch im Farbkreis angeordnet werden. Farben eignen sich also hervorragend dazu, periodisch veränderliche Größen (wie z.B. einen Winkel) zu visualisieren.
Im Farbkreis sind die Farben wie folgt angeordnet:

additive Grundfarben Winkel (Bogenmaß) Winkel (Grad)
rot 0 (= 2π) 0 Grad (=360 Grad)
grün 2π/3 120 Grad
blau 4π/3 (= -2π/3) 240 Grad
subtraktive Grundfarben Winkel (Bogenmaß) Winkel (Grad)
gelb π/3 60 Grad
cyan (blaugrün) π (= -π) 180 Grad
magenta (purpur) 5π/3 (= -π/3) 300 Grad

Die Farben, die sich am Farbkreis gegenüberliegen, heissen "komplementär".
Komplementärfarben sind also z.B.: gelb-blau, grün-magenta, cyan-rot.


Visualisierung einer Welle mit zweidimensionaler Wellengröße

Eine Welle mit zweidimensionaler Wellengröße hat überall außer einem Wellenbetrag noch eine Wellenrichtung, die durch den Phasenwinkel an diesem Ort angegeben wird:

Abbildung 4: Diese Abbildung zeigt die Momentaufnahme einer Welle, bei
                           der sich die "Phasenrichtung" periodisch ändert (=die Richtung der
                           Pfeile), während der Betrag (die Länge der Pfeile) überall konstant
                           bleibt.

Abbildung 4: Diese Abbildung zeigt die Momentaufnahme einer Welle, bei der sich die "Phasenrichtung" periodisch ändert (=die Richtung der Pfeile), während der Betrag (die Länge der Pfeile) überall konstant bleibt.

Die Darstellung mit Pfeilen ist für kompliziertere Situationen ungeeignet. Hier ist nocheinmal dieselbe Welle, aber jetzt sind ist an jedem Punkt x die Richtung (der Phasenwinkel) durch eine Farbe visualisiert:

Abbildung 5: Die Abbildung zeigt die Momentaufnahme einer Welle mit
                           Wellenlänge 1. Die schwarze Linie gibt den Betrag der Wellengröße an, der
                           Phasenwinkel wird an jedem Punkt durch die Füllfarbe zwischen
                           Betragslinie und x-Achse symbolisiert. In diesem Fall hat die Welle
                           konstanten Betrag und einen periodisch variierenden Phasenwinkel.

Abbildung 5: Die Abbildung zeigt die Momentaufnahme einer Welle mit Wellenlänge 1. Die schwarze Linie gibt den Betrag der Wellengröße an, der Phasenwinkel wird an jedem Punkt durch die Füllfarbe zwischen Betragslinie und x-Achse symbolisiert. In diesem Fall hat die Welle konstanten Betrag und einen periodisch variierenden Phasenwinkel.


Beschreibung der Interferenz

Farbmischung und Addition von Vektoren

Video: Die Addition von zwei Vektoren in der Ebene entspricht der Mischung von Farben. Dieser Film zeigt alle Farben, die durch Mischung mit rot erhalten werden können. Es sind dies die Farben in der rechten Hälfte des Farbkreises.

Video: Die Addition von zwei Vektoren in der Ebene entspricht der Mischung von Farben. Dieser Film zeigt alle Farben, die durch Mischung mit grün erhalten werden können. Es sind dies die Farben in der rechten Hälfte des Farbkreises.

Durch Mischung von Farben am Farbkreis entstehen neue Farben. Tatsächlich entstehen die Farben am Computermonitor durch Addition der Grundfarben rot, grün und blau (additive Grundfarben). Gleichzeitiges Aufleuchten der roten und grünen Pixel ergibt gelb, Mischung von blau und rot ergibt purpur, usw. Die subtraktiven Grundfarben gelb, cyan, magenta finden beim Farbdruck Verwendung. Mischung von gelb und cyan ergibt grün, Mischung von cyan und magenta ergibt blau, Mischung von gelb und magenta ergibt rot.
Diese Farbmischungen werden gut durch Vektoraddition beschrieben. Jede Farbe am Farbkreis kann durch einen Richtungsvektor dargestellt werden. Addiert man zwei solche Richtungsvektoren wie in der Grafik, erhält man einen Summenvektor, dem eine neue Farbe am Farbkreis zugeordnet ist.

Beachte

Durch den Farbton wird hier nur die Richtung, nicht aber die Länge der Vektoren dargestellt.

Bei der Vektoraddition ist die Summe zweier Vektoren mit entgegengesetzten Richtungen der Nullvektor. Ihm kann keine Farbe des Farbkreises zugeordnet werden. Tatsächlich ergibt sich bei Mischung von Komplementärfarben je nach Methode im Idealfall schwarz (subtraktive Farbmischung), weiss (additive Farbmischung), oder sonst grau.


Interferenz von Farbwellen

Video: Die Abbildung zeigt in der Mitte zwei übereinandergelagerte Wellen mit konstantem Betrag und periodisch ortsabhängigem Phasenwinkel (durch Farben dargestellt). Die beiden Wellen haben unterschiedliche Wellenlänge. Im oberen Bereich sehen wir die Summe der beiden Wellen darunter. Hier ist der Betrag ortsabhängig. Der untere Bildbereich erklärt die Vektoraddition und Farbmischung, die am Ort der vertikalen grauen Linie stattfindet. Dieser Ort kann mit dem Schieberegler verstellt werden.

Wenn sich zwei Wellen mit zweidimensionaler Wellengröße im selben Raumbereich befinden, kann sich durch Interferenz der Betrag der Welle in manchen Gebieten vergrößern, in anderen Gebieten hingegen findet gegenseitige Auslöschung statt.
Die Interferenz kommt durch die Addition der beiden Wellen zustande. Dabei werden an jedem Raumpunkt die dortigen Wellengrößen addiert. Die Wellengrößen sind zweidimensionale Vektoren. Um die beiden Teilwellen und die Summenwelle zu visualisieren, stellen wir an jedem Ort den Betrag der Wellengröße durch die Höhe des Funktionsgraphen dar, und symbolisieren die Richtung der Wellengröße durch die Füllfarbe (siehe die Abbildung).
Die Maxima der Überlagerung sind dort, wo die Teilwellen die gleiche (rote) Farbe haben, denn hier addieren sich die einzelnen Beträge. Auslöschung erfolgt dort, wo die Teilwellen komplementäre Farbe haben (rot und blaugrün).
Im unteren Drittel der Abbildung sehen wir die beiden Vektoren, die durch die beiden Teilwellen am Ort der grauen Linie definiert werden. Diese Spitzen dieser Vektoren liegen immer auf einem Kreis, da die beiden zur Überlagerung kommenden Wellen einen konstanten Betrag haben. Der dritte Vektor zeigt den Summenvektor. Die Farbe der Vektoren kodiert wie üblich die Richtung der Vektoren. Sie entspricht der Farbe der jeweiligen Wellenfunktionen am Ort der grauen Linie.


Interferenz von gegenläufigen Farbwellen

Video: Oben: Cosinusfunktion (rot = positiv, blaugrün = negativ). Summe der beiden Wellen darunter. Mitte: Zwei übereinandergelagerte, gegenläufige Wellen gleichem Betrag und gleicher Wellenlänge. Sie sind "gegenläufig" in dem Sinne, dass die Abfolge der Farben entgegengesetzt ist. Unten: Vektoraddition und Farbmischung am Ort der vertikalen grauen Linie stattfindet. Dieser Ort kann mit dem Schieberegler verstellt werden.

Hier addieren wir zwei "gegenläufige" Teilwellen. Sie haben die gleiche Amplitude aber eine genau entgegengesetzte Farbfolge. Das Resultat ist eine normale Cosinuswelle (rot = Wellenberge, dort ist die Wellenfunktion positiv, blaugrün = Wellentäler, dort ist die Wellenfunktion negativ).


Visualisierung des Betrages durch Helligkeit

Wir beschreiben die Farbmischung durch Vektoraddition. Um in der resultierenden Farbe nicht nur die Richtung des Summenvektors, sondern auch seine Länge darzustellen, verwenden wir Farben unterschiedlicher Helligkeit. Kurze Vektoren werden durch dunkle, lange durch helle Farben dargestellt. Auf diese Art wird jedem Vektor (also jedem Punkt der Ebene) eine eindeutige Farbe (Farbton und Helligkeit) zugewiesen.

Video: Dieser Film zeigt alle Farben, die durch Addition von Grün und einer anderen Farbe des Farbkreises erhalten werden können. Dabei erhält die Mischfarbe eine Helligkeit, die von der Länge des Summenvektors abhängt.


Farbwelleninterferenz am Doppelspalt

Video: Links: Die Wellen, die aus den Einzelspalten austreten. Rechts oben: Das Interferenzmuster hinter dem Doppelspalt. Rechts unten: Wellenwerte entlang der beweglichen weissen Linie mit der "eindimensionalen" Visualisierungsmethode. Dabei ist die obere Kurve die Summe der beiden unteren.

Hier zeigen wir, wie die Interferenz am Doppelspalt durch "Farbwellen" modelliert werden kann. Das Interferenzmuster entsteht durch Überlagerung (=Addition) der Wellen aus den einzelnen Spalten.
Die Visualisierung zeigt mit Hilfe von Farbwerten an jedem Punkt den Betrag (Helligkeit) und die Richtung (Farbton) der Wellengröße an. Bei der Überlagerung werden die Farben gemischt: Ähnliche Farben verstärken sich und komplementäre Farben löschen einander aus.


Erklärung der Interferenz beim Doppelspaltexperiment durch das Farbwellenmodell

Die Teilchendichte hat normalerweise keine Welleneigenschaften. Die Teilchendichte im Einzelspaltexperiment weist keinerlei für Wellen typische Berge und Täler auf. Sobald aber mehrere Teilstrahlen aus derselben Quelle überlagert werden, entstehen Interferenzmuster. Wir brauchen zur Beschreibung dieses Phänomens also eine Größe, die einerseits eine "nicht-wellige" Teilchendichte beschreibt und andererseits Welleneigenschaften hat, die zur Interferenz führen können.
Ein einfaches Modell ist das folgende "Farbwellenmodell":
Wir visualisieren die Teilchendichte wie gewöhnlich durch die Helligkeit. Dazu denken wir uns noch eine zweite, nicht direkt beobachtbare wellenartige Größe, deren Werte wir zur Veranschaulichung durch einen Farbton darstellen.
Bei der Überlagerung (Interferenz) solcher "eingefärbter Intensitäten" berücksichtigen wir die Farbeigenschaft wie folgt:

  • Gleichartige oder ähnliche Farben addieren sich in der Helligkeit
  • Komplementärfarben heben sich gegenseitig auf (die Helligkeiten werden subtrahiert - im Idealfall ergibt das Schwarz).
Im Einzelspaltexperiment könnte das so aussehen:

Abbildung 6: Eine Farbwelle mit einer bestimmten Wellenlänge tritt aus dem Spalt aus. Die
                           Helligkeit (=Teilchendichte) nimmt gleichmäßig in alle Richtungen nach außen hin
                           ab. Die so beschriebene Teilchendichte hat keine wellige Struktur. Die
                           periodische Einfärbung ist nicht beobachtbar.

Abbildung 6: Eine Farbwelle mit einer bestimmten Wellenlänge tritt aus dem Spalt aus. Die Helligkeit (=Teilchendichte) nimmt gleichmäßig in alle Richtungen nach außen hin ab. Die so beschriebene Teilchendichte hat keine wellige Struktur. Die periodische Einfärbung ist nicht beobachtbar.

Im Doppelspaltexperiment hingegen kommen aber zwei solche Wellen zur Überlagerung. Wenn wir diese beiden Teilwellen gemäß obiger Vorschrift addieren, erhalten wir folgendes Bild.

Abbildung 7: Addition von Farben beim Doppelspaltexperiment

Abbildung 7: Addition von Farben beim Doppelspaltexperiment

Die Superposition der beiden Farbwellen, die aus den Einzelspalten austreten, ergibt das Interferenzmuster am Doppelspalt. Die zusammengehörigen Kreise zeigen das Prinzip der Farbmischung:

  • Superposition ähnlicher Farbtöne ergibt eine Verstärkung der Helligkeit.
    Im Beispiel: Grün + Grün = Hellgrün)
  • Superposition komplementärer Farbtöne ergibt eine Verminderung der Helligkeit.
    Im Beispiel: Grün + Purpur = Schwarz, ebenso:
    (Dunkel-) Blau + (Dunkel-) Gelb = Schwarz
Abbildung 8: Überlagerung zweier Farbwellen aus den Einzelspalten. Dort, wo
                           Komplementärfarben zusammentreffen, erfolgt Auslöschung, dort, wo ähnliche
                           Farben überlagert werden, erfolgt Verstärkung. Diese Helligkeits- Interferenz
                           ist beobachtbar, da die Helligkeit die Teilchendichte symbolisiert.

Abbildung 8: Überlagerung zweier Farbwellen aus den Einzelspalten. Dort, wo Komplementärfarben zusammentreffen, erfolgt Auslöschung, dort, wo ähnliche Farben überlagert werden, erfolgt Verstärkung. Diese Helligkeits- Interferenz ist beobachtbar, da die Helligkeit die Teilchendichte symbolisiert.

Die Farben haben wir nur zur Beschreibung des Interferenzmusters der Helligkeit eingeführt. Physikalisch meßbar ist nur die durch die Helligkeit symbolisierte Teilchendichte. Die Eigenschaft, die durch die Farben symbolisiert wird, ist nicht direkt beobachtbar (nur indirekt am daraus resultierenden Interferenzmuster).
Die mathematische Größe, die wir hier durch eine "Farbwelle" darstellen, nennt man die quantenmechanische Wellenfunktion. Wellenfunktionen sind natürlich nicht wirklich bunt. Mathematisch gesehen bedeuten die Farben, dass wir es mit Wellen mit einer zweidimensionalen Wellengröße zu tun haben (in der Visualisierung sind die beiden Dimensionen die Helligkeit und der Farbton). Tatsächlich werden quantenmechanische Wellenfunktionen mathematisch mit Hilfe komplexer Zahlen beschrieben.


Das deBroglieModell

Mathematisches Modell für Teilchenstrahlen

Video: Mathematisches Modell eines Teilchenstrahls mit festem Impuls. Die x-Koordinate ist die Bewegungsrichtung der Teilchen. Die (konstante) Höhe des Betrags symbolisiert die konstante Teilchendichte. Die Farben beschreiben den Phasenwinkel.

Es war die Idee von Louis de Broglie (1923), Teilchenstrahlen durch Welleneigenschaften zu charakterisieren. Für Teilchen, die sich mit einem festen Impuls p in einer vorgegebenen Richtung (z.B. in der x-Richtung) bewegen, nehmen wir eine Welle an, die durch einen orts- und zeitabhängigen Phasenwinkel
a = kx - ωt
beschrieben wird. Der Teilchenstrahl wird also - wie eine Welle - durch eine Wellenzahl k und eine Kreisfrequenz ω charakterisiert.

Wie bestimmen wir Wellenzahl und Frequenz?

Wellenzahl k

Da Interferenzmuster von Teilchenstrahlen vom Impuls genauso abhängen, wie Interferenzmuster bei Wellen von der Wellenzahl, nehmen wir an, dass die Wellenzahl k eines Teilchenstrahls proportional zum Impuls p der Teilchen ist:
k = p/ℏ
Die Proportionalitätskonstante ℏ (Plancksche Konstante) kann aus dem beobachteten Interferenzmuster bestimmt werden. Wir müssen nur die Wellenzahl zu einem gegebenen Impuls so wählen, dass das berechnete mit dem beobachteten Interferenzmuster übereinstimmt.
Bezeichnungen: Die Konstante ℎ = 2πℏ heißt Plancksches Wirkungsquantum. Es wurde von Max Planck (1858-1947) im Jahre 1900 zur Beschreibung der sogenannten Schwarzkörperstrahlung eingeführt. Die häufig verwendete Konstante ℏ (ℎ mit einem Querstrich, sprich hquer) heißt oft reduziertes Plancksches Wirkungsquantum

Kreisfrequenz ω

Analog dazu wird angenommen, dass die Kreisfrequenz ω proportional zur Energie E ist:
ω = E/ℏ
Albert Einstein hat schon 1905 in seiner Untersuchung über den Photoeffekt die Energie von Lichtteilchen (Photonen) durch diese Formel beschrieben. Für diese Arbeit - und nicht etwa für die Relativitätstheorie - hat er später den Nobelpreis bekommen.

Dispersionsrelation

Für kräftefreie Teilchen besteht ein Zusammenhang zwischen dem Impuls p und der Energie E. Der entsprechende Zusammenhang zwischen Wellenzahl und Frequenz (die sogenannte "Dispersionsrelation") lautet
ω = ℏ2/2m

Schrödingergleichung

Erwin Schrödinger hat 1926 erkannt, dass sich Wellen mit dieser Beziehung zwischen Wellenzahl und Kreisfrequenz ganz allgemein durch eine Gleichung beschreiben lassen, die wir hier einfach einmal herzeigen wollen:

Diese Differentialgleichung bildet die Grundlage der modernen Physik. Man nennt sie die Schrödingergleichung für freie Teilchen.

Übungsaufgaben

Übung:
Leite die Dispersionsrelation zwischen Wellenzahl und Kreisfrequenz für einen Strahl kräftefreier Teilchen her. Verwende dazu die Beziehung zwischen kinetischer Energie und Impuls, die zwischen Wellenzahl und Impuls, und die zwischen Kreisfrequenz und Energie.

Lösung:
Für kräftefreie Teilchen ist die Energie gleich der kinetischen Energie.
E = m v2/2
Wenn wir die Formel p = mv benützen, können wir die kinetische Energie auch durch den Impuls ausdrücken:
E = p2/2m .
Nun schreiben wir diesen Zusammenhang um, indem wir E durch die Kreisfrequenz
E = ℏω
ausdrücken, und den Impuls durch die Wellenzahl
p = ℏk .
Setzt man das in die obige Gleichung ein, erhält man sofort die Dispersionsrelation
ω = ℏk2/2m

Übung:
Was ist die physikalische Dimension des Planck'schen Wirkungsquantums? Berechne die Einheit dieser Größe.

Lösung:
Verwenden wir die Beziehung
ω = E/ℏ ,
sehen wir, dass ℏ gleich Energie/Frequenz, also Energie mal Zeit ist.
Verwenden wir die Beziehung zwischen Impuls und Wellenzahl, sehen wir, dass die Dimension von ℏ gleich Impuls / Wellenzahl, also Impuls mal Länge ist. Für die physikalischen Dimensionen gilt
Energie x Zeit = Impuls x Länge = Masse x Länge2 / Zeit
Eine physikalische Größe mit dieser Dimension heisst Wirkung. Daher nennt man ℏ auch Wirkungsquantum. Die Einheit im SI ist
kg m2 / s.
Übrigens hat der Drehimpuls dieselbe Dimension und Einheit wie die Wirkung.


Bestimmung der Wellenlänge von Teilchenstrahlen
Abbildung 9: Beobachtete Verteilung der Teilchendichte bei einem bestimmten Wert des
                           Teilchenimpulses im einfallenden Strahl.

Abbildung 9: Beobachtete Verteilung der Teilchendichte bei einem bestimmten Wert des Teilchenimpulses im einfallenden Strahl.

Video: Modelliertes (gerechnetes) Bild einer Welle mit zweidimensionaler Wellengröße. Die Wellenlänge wurde so gewählt, dass die Position der dunklen Streifen mit der im linken Bild übereinstimmt.

Das Interferenzmuster der Teilchendichte hinter dem Doppelspalt (linkes Bild) modellieren wir für Teilchen mit Impuls p durch die Intensität einer Farbwelle mit geeigneter Wellenlänge (rechtes Bild). Die Wellenlänge muss so gewählt werden, dass das Interferenzmuster der Farbwelle mit dem beobachteten Interferenzmuster der Teilchendichte übereinstimmt. Es stellt sich heraus, daß bei Teilchen mit Impuls p immer die Wellenzahl
k = p/ħ
zu verwenden ist.
Impuls und Wellenzahl von Teilchenstrahlen stehen in einem linearen Zusammenhang,
p = ħk.
Man sagt, der Impuls ist proportional zur Wellenzahl. Die Proportionalitätskonstante ħ (sprich: h quer) ist das Plancksche Wirkungsquantum.
Die Wellenlänge (=Abstand benachbarter gleichfarbiger "Streifen") ergibt sich dann zu
λ = 2πħ/p
Hat man einmal die Wellenlänge zu einem gegebenen Impuls bestimmt, kann man das Plancksche Wirkungsquantum daraus ausrechnen.
ħ = 1,05457 x 10-34 kg m2 s-1
In den Lehrbüchern findet man unter der Bezeichnung Plancksches Wirkungsquantum auch folgende Größe:
h = 2πħ = 6,626 x 10-34 kg m2 s-1
Man erhält dann eine einfachere Beziehung zwischen Impuls und Wellenlänge:
p = ħk = (h/2π) (2π/λ) = h/λ

Historische Anmerkung

Die Streuung an einem Kristallgitter verursacht ähnliche (wenn auch kompliziertere) Interferenzmuster, wie die Streuung an einem Doppelspalt. Im Jahre 1927 wurden von C.Davisson und L.H.Germer Elektronenstrahlen an einem Nickel-Einkristall gestreut und die Resultate mit der Beugung von Röntgenstrahlen bekannter Wellenlänge verglichen. Das Davisson-Germer Experiment gilt als wichtigste Bestätigung der Wellennatur von Elektronenstrahlen.

Übungsaufgabe

Berechne die Wellenlänge eines Balles (0,1 kg), der mit der Geschwindigkeit von 10 m/s geworfen wird. Diskutiere, warum Interferenzeffekte anhand solcher Bälle unbeobachtbar sind.