Quantenmechanik

Welle-Teilchen Dualismus

Abbildung 1: Wellenpaket und Teilchenwolke

Am Anfang der Quantenmechanik steht die Beobachtung, dass sich Licht bei manchen Experimenten so verhält, als ob es eine Welle wäre, bei anderen Experimenten so, als ob es aus Elementarteilchen (Photonen) bestünde.
Bald hat man erkannt, dass sich die Bewegung aller Elementarteilchen so vollzieht, dass unter gewissen Bedingungen Welleneigenschaften (Wellenlänge, Frequenz) sichtbar werden, unter anderen Bedingungen aber die Teilcheneigenschaften (Impuls, Energie) in den Vordergrund treten.
Je nach Art der Teilchen ist es schwieriger, bei ihrer Bewegung die Teilcheneigenschaften oder die Welleneigenschaften nachzuweisen. Daher hat man in der klassischen Physik bei Photonenstrahlen zuerst die Welleneigenschaften entdeckt, bei Elektronenstrahlen jedoch zuerst die Teilcheneigenschaften.
Tatsächlich kann man sowohl bei Photonen als auch bei Elektronen folgendes Verhalten beobachten:

• Sie treten einzeln immer als Teilchen auf. Sie sind punktförmig, dh. wenn sie einzeln wo auftreffen, dann immer an einer bestimmten Stelle und nicht irgendwie verteilt wie eine Welle. Man kann ihre Geschwindigkeit und ihren Impuls messen. Beim Aufschlag übertragen sie Energie auf das getroffene Ziel.
• Ihre Bewegung folgt jedoch den Ausbreitungsgesetzen einer Welle, denn die örtliche Verteilung der Teilchen zeigt Interferenzerscheinungen.

Hinweise für LehrerInnen

Kapitelübersicht

In der Folge wiederholen wir einige Grundbegriffe zum Thema Wellen, und zeigen dann, wie man Teilchenstrahlen in der klassischen Physik beschreibt.
Das wichtigste Experiment, das den Wellencharakter eines Teilchenstrahls nachweisen kann, ist das Doppelspaltexperiment. Es dient zur Feststellung von Interferenz, also einer typischen Welleneigenschaft. Wir werden es ziemlich ausführlich im nächsten Kapitel behandeln.

Wellen - Das Wichtigste in Kürze

Abbildung 2: Momentaufnahme einer Sinuswelle

Eine Welle ist eine Erregung oder Schwingung, die sich durch den Raum fortpflanzt. Die physikalische Größe, die diese Erregung beschreibt, nennen wir die Wellengröße. Sie wird mathematisch durch eine Wellenfunktion beschrieben.
Beispiele:

• Bei Wasserwellen ist die Wellengröße die Höhe der Wasseroberfläche über der Oberfläche des ruhenden Wassers.
• Bei Schallwellen ist die Wellengröße der Luftdruck.
• Bei elektromagnetischen Wellen (Radiowellen, Mikrowellen, Licht) wird die Wellengröße aus den elektrischen und magnetischen Feldern gebildet.

Im einfachsten Fall ist eine Welle ein Vorgang, bei der sich die Wellengröße räumlich und zeitlich periodisch verändert. Die Wellengröße schwankt dabei um einen Mittelwert, Wellenberge und Wellentäler wechseln einander ab. Als Wellenberg bezeichnet man die Gegend um ein Maximum, als Wellental die Gegend um ein Minimum der Wellenfunktion.
Die Abbildung zeigt eine Momentaufnahme einer Sinuswelle. Sie wird durch die Wellenfunktion
u(x,t) = A sin(kx - ωt + d) beschrieben.

Hier ist A die Amplitude der Welle, k ist die Wellenzahl und ω die Kreisfrequenz. Wellenzahl und Kreisfrequenz hängen mit der Wellenlänge λ und der Schwingungsdauer T zusammen:
k = 2π/λ
ω = 2π/T

Das Argument der Sinusfunktion, a = kx - ωt + d, heißt oft Phasenwinkel, die Zahl d nennt man dann die Phasenverschiebung.
Die Geschwindigkeit, mit der sich ein Maximum (oder ein Minimum oder eine Nullstelle) der Welle fortpflanzt, nennt man Wellengeschwindigkeit.

Übungsaufgaben

Übung:
Wo genau befinden sich die Maxima der hier definierten Sinuswelle zur Zeit t=0?

Lösung: Dort, wo das Argument der Sinusfunktion einen der Werte a_k = π/2 + 2 k π annimmt, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Also bei x_k = (π/2 + 2 k π - d)/k, mit k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Übung:
Mit welcher Formel beschreibt man eine Sinuswelle, die nicht um den Mittelwert 0, sondern um einen Mittelwert u₀ oszilliert?

Lösung:
u(x,t) = u₀+A sin(kx - ωt + d)

Übung:
Eine Sinuswelle werde durch die Formel u(x,t) = A sin(kx - ωt + d) beschrieben. Wie lautet ein Formelausdruck für eine Sinuswelle, die im Vergleich dazu eine halb so große Wellenlänge hat?

Lösung:
u(x,t) = A sin(2kx - ωt + d)

Übung:
...die doppelte Schwingungsdauer hat?

Lösung:
u(x,t) = A sin(kx - (ω/2)t + d)

Übung:
...zwar die gleiche Wellenlänge, aber eine doppelt so große Wellengeschwindigkeit hat?

Lösung: Während einer Schwingung bewegt sich ein Wellenberg um eine Wellenlänge vorwärts. Halbiert man die Schwingungsdauer T, wird die Wellenlänge λ in der halben Zeit zurückgelegt, die Wellengeschwindigkeit verdoppelt sich also. Die halbe Schwingungsdauer bedeutet doppelte Kreisfrequenz. Wir müssen also ω durch 2ω ersetzen. Die Lösung ist daher
u(x,t) = A sin(kx - 2ωt + d)

Übung:
...die gleiche Schwingungsdauer, aber eine doppelt so große Wellengeschwindigkeit hat?

Lösung: Verdoppelt man die Wellenlänge, muss ein Wellenberg während der Schwingungsdauer T die doppelte Entfernung zurücklegen, die Geschwindigkeit der Welle wird somit verdoppelt. Die doppelte Wellenlänge erhält man, wenn man die Wellenzahl k halbiert. Die Antwort lautet also
u(x,t) = A sin(kx/2 - ωt + d)

Übung:
...für die gilt u(0,0) = 0?

Lösung:
u(x,t) = A sin(kx - ωt)

Übung:
...für die gilt u(0,0) = 1?

Lösung:
u(x,t) = sin(kx - ωt + π/2)

Hinweise für LehrerInnen

Visualisierung von Wellen

In eindimensionalen Darstellungen visualisieren wir eine Welle durch einen Funktionsgraphen. Je nach Anwendung beschreibt der Funktionswert die Höhe einer Wasserwelle, oder den Luftdruck bei einer Schallwelle, usw. Die Zeitabhängigkeit der Welle wird durch die Animation veranschaulicht.
In zwei Dimensionen visualisieren wir eine Welle durch eine Dichtegrafik. Der Wert der wellenförmigen physikalischen Größe u (die Höhe der Welle) wird dabei durch einen Grauwert dargestellt. Hier sind die Wellenberge hell, die Wellentäler sind dunkel.
Die gezeigte Welle wird durch die Formel
u(x,t) = u₀ + A sin(kx - ωt)
beschrieben. An einem festen Punkt x oszilliert die Größe u um den Mittelwert u₀, man beobachte zum Beispiel den schwarzen Punkt an der Stelle x=0.

Die Schwingungsdauer ist die Dauer einer Auf- und Ab-Bewegung des schwarzen Punktes. Die Wellenlänge ist der Abstand zwischen benachbarten Wellenbergen (Maxima). Während der Schwingungsdauer bewegt sich die Welle um eine Wellenlänge vorwärts.

Kreiswellen

Eine sich gleichmäßig in alle Richtungen ausbreitetende Welle nennt man Kreiswelle (Dichtegraphik)

In zwei Dimensionen können sich Wellen in alle Richtungen fortpflanzen. Die Animation zeigt eine Welle, die sich kreisförmig ausbreitet (Kreiswelle). Wellenberge und Wellentäler bilden immer größer werdende konzentrische Kreise, die von einem Erregungszentrum ausgehen. Die Amplitude nimmt nach außen hin ab, da sich die Welle auf einen immer größeren Bereich verteilt.
Eine solche Welle entsteht zum Beispiel, wenn man einen Punkt der Wasseroberfläche periodisch erregt.
Analog dazu können sich im dreidimensionalen Raum kugelförmige Wellen ausbilden (Kugelwellen).

Eine Welle die sich in alle Richtungen gleichmäßig ausbreitet (3D-Darstellung)

In zwei Dimensionen können sich Wellen in alle Richtungen fortpflanzen. Die Animation zeigt eine Welle mit kreisförmigen Wellenfronten. Die Amplitude nimmt nach außen hin ab, da sich die Wellenenergie auf einen immer größeren Bereich verteilt.
Eine solche Welle entsteht zum Beispiel, wenn man einen Punkt der Wasseroberfläche periodisch erregt.
Analog dazu können sich im dreidimensionalen Raum kugelförmige Wellen ausbilden.

Interferenz von Wellen

Interferenz bei der Überlagerung zweier Wellen mit unterschiedlicher Wellenlänge

Der Film zeigt zwei gut fokussierte Wellenzüge, die sich mit leicht unterschiedlicher Wellenlänge und Ausbreitungsgeschwindigkeit nebeneinander fortbewegen. Die Wellenberge sind hell, die Wellentäler dunkel.
Wenn man die Wellenzüge zur Überlagerung bringt, zeigt sich im Überlappungsbereich ein neues Phänomen: Ein periodisches An- und Abschwellen der Amplitude. Das neu entstandene Wellenmuster scheint sich auch mit einer anderen Geschwindigkeit zu bewegen als die beiden Teilwellen.
Die Effekte, die bei der Überlagerung (= Superposition) zweier Wellen auftreten können, fasst man unter dem Begriff Interferenz zusammen.

In vielen Fällen kann man Interferenz mathematisch dadurch beschreiben, dass man einfach an jedem Punkt die Wellengrößen addiert ("lineare Superposition"):

• Wenn zwei Wellenberge (hell) zusammenkommen, entsteht so ein besonders hoher Wellenberg
  (im Bild: hellgrau + hellgrau = weiß).
• Addition von Wellentälern (negative Auslenkung) ergibt ein tiefes Wellental
  (im Bild: dunkelgrau + dunkelgrau = schwarz).
• Kommen jedoch an einem gewissen Ort und zu einer gewissen Zeit ein Wellenberg und ein Wellental zusammen, löschen sich die Wellengrößen an diesem Punkt aus
  (im Bild: dunkelgrau + hellgrau = mittelgrau)

Ein wichtiges Experiment zur Demonstration von Interferenzeffekten ist das Doppelspaltexperiment.

Interferenz zweier Kreiswellen

Interferenz bei der Überlagerung zweier Kreiswellen (Dichtegrafik)

In einer Wellenwanne wird durch einen Tupfer eine Flüssigkeitsoberfläche gleichzeitig an zwei Stellen in Schwingungen versetzt. Von diesen Störungen gehen zwei Kreiswellen aus, deren Interferenz man in der Wellenwanne beobachten kann (3D-Ansicht)

Der Film zeigt zwei Kreiswellen, die von zwei benachbarten Punkten ausgehen. Man denke etwa an eine Wasseroberfläche, die im Gleichtakt an zwei Punkten angeregt wird. Die beiden Kreiswellen breiten sich im selben Medium aus und überlagern sich. Dabei entsteht ein interessantes Muster. Entlang gewisser Linien scheinen sich die beiden Wellen annähernd auszulöschen. Diese Linien sind annähernd gerade und scheinen von einem Punkt zwischen den beiden Wellenzentren auszugehen.
Dieses Bild, das bei der Überlagerung zweier Wellen entsteht, nennt man Interferenzmuster. Damit ein schönes und gut sichtbares Interferenzmuster entsteht, müssen die beiden Wellen mit der gleichen Frequenz und mit der gleichen Phase (also "im Gleichtakt") angeregt werden.
Eine Erklärung für das Auftreten des Interferenzmusters liefert die folgende Grafik:

Abbildung 3: Erklärung des Interferenzmusters. Die Kreissegmente markieren die Minima der oberen Kreiswelle (dunkel) und die Maxima der unteren Kreiswelle (hell). Dort, wo Maxima und Minima zusammentreffen, löschen sich die beiden Wellen aus, sofern ihre Amplituden dort ungefähr gleich groß sind.

Wir nehmen an, dass bei der Überlagerung zweier Wellen die Wellengrößen einfach addiert werden (man nennt dies lineare Superposition). Dann gilt das folgende allgemeine Prinzip:

• Wenn zwei Wellenberge zusammenkommen, entsteht ein besonders hoher Wellenberg
• Addition von Wellentälern ergibt ein besonders tiefes Wellental
• Kommen jedoch an einem gewissen Ort und zu einer gewissen Zeit ein Wellenberg und ein Wellental zusammen, löschen sich die Wellengrößen an diesem Punkt aus

Die Auslöschung ist nur dann perfekt, wenn am betrachteten Ort das Maximum der einen Welle genau so hoch über dem Mittelwert liegt, wie das Minimum der anderen Welle darunter (also, wenn die Amplituden der beiden Wellen an diesem Ort gleich groß sind). Bei den betrachteten Kreiswellen ist das nur angenähert der Fall, denn die Amplitude nimmt ja mit dem Abstand vom jeweiligen Zentrum ab. Besonders gut funktioniert die Auslöschung, wenn Wellenberg und Wellental an einem Ort zusammentreffen, der ungefähr gleich weit von beiden Wellenzentren entfernt liegt.

Stationäre Schwingungen

Ein schwingendes Seil

Betrachten wir ein gespanntes elastisches Seil, das an einem Ende befestigt ist und am anderen Ende periodisch auf- und abbewegt wird. Wenn diese Bewegung mit der richtigen Frequenz erfolgt, kann man das Seil zu einer Schwingung des hier gezeigten Typs anregen.
Jeder Punkt des Seils schwingt dabei mit der gleichen Frequenz auf und ab, die Amplitude dieser Schwingung ist aber von Ort zu Ort verschieden. An manchen Stellen erfolgt überhaupt keine vertikale Bewegung - man nennt diese Stellen Schwingungsknoten. Zwangsläufig ist der Befestigungspunkt ein solcher Schwingungsknoten.
Die gezeigte Seilschwingung ist ortsfest. Anders als bei einer fortlaufenden Welle scheint sich hier keine Erregung von Ort zu Ort fortzupflanzen. Man nennt diese Art der Bewegung daher eine stationäre Schwingung.

Übungsaufgaben

Übung:
Finde eine Funktion u(x,t), die geeignet wäre, die in der Animation gezeigte Seilbewegung mathematisch zu beschreiben.

Lösung:
Da die Animation keine genauen Beschriftungen enthält, gibt es viele verschiedene Lösungen, je nachdem, welche Annahmen man trifft. Eine mögliche Überlegung wäre die folgende:
Wir nehmen an dass sich der schwarze Punkt am Ort x=0 und der Befestigungspunkt bei x=L befinden möge. Am Befestigungspunkt ist die Auslenkung natürlich immer 0:
u(x=L,t) = 0 für alle t.
Für das bewegte Ende bei x=0 nehmen wir eine harmonische Schwingung an. Zum Beispiel
u(x=0,t) = A sin(ωt) für alle t.
Das ganze Seil schwingt in diesem zeitlichen Rhythmus, jedoch mit einer Amplitude, die vom Ort abhängt. Wir machen also den Ansatz
u(x,t) = A(x) sin(ωt) für alle t.
Für die Abhängigkeit der Amplitude vom Ort nehmen wir im einfachsten Fall wieder eine harmonische Funktion an, also zum Beispiel
A(x) = cos(kx) für alle 0 ≤ x ≤ L.
Durch die Kosinusfunktion ist bei x=0 die Amplitude automatisch maximal. Die Konstante k muss nun so gewählt werden, dass sich am Befestigungspunkt x=L ein Schwingungsknoten (eine Nullstelle der Kosinusfunktion) befindet. Es ist k = 2π / λ, wobei λ die Periode der Kosinusfunktion ist (die "Wellenlänge"). Wenn wir die Schwingungsknoten abzählen, sehen wir, dass sich bei x=L die fünfte Nullstelle des Kosinus befinden muss. Daraus erhalten wir die Bedingung
L = 9 λ / 4 = 9 (2π/k) / 4 und somit

k = 9 π / 2 L.
Eine Funktion, die die hier gezeigte stationäre Schwingung mathematisch modelliert, wäre also
u(x,t) = A cos(k x) sin(ω t) mit k = 9 π / 2 L.

Hinweise für LehrerInnen

Stehende Wellen

Stehende Welle als Überlagerung gegenläufiger Wellen. Die rote Welle unten ist die Summe der beiden grünen Wellen oben.

Dieser Film zeigt die Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen mit gleicher Frequenz und gleicher Amplitude

u(x,t) = A sin(kx - ωt) + A sin(kx + ωt) = 2 A sin(kx) cos(ωt)
Die Überlagerung wird erzeugt, indem man einfach an jedem Punkt die Wellengrößen der einzelnen Wellen (die Auslenkungen) addiert.
Diese spezielle Überlagerung zweier fortlaufender Wellen ist selbst keine fortlaufende Welle, sondern eine sogenannte stehende Welle. Die Wellengröße vollführt dabei eine ortsfeste Bewegung, weshalb man auch von einer stationären Schwingung spricht.

Es gibt Orte, an denen die Funktion u(x,t) immer verschwindet:
u(x_n,t) = 0 für alle t, wenn x_n = πn∕k, mit n = 0,±1,±2,±3... .
Diese Orte nennt man Schwingungsknoten. Überall sonst ändert sich die Wellengröße zeitlich periodisch. Stehende Wellen sind also zeitlich periodische Vorgänge (Schwingungen) mit räumlich feststehenden ("stationären") Schwingungsknoten.
Es gibt Zeiten, zu denen die Funktion u(x,t) überall verschwindet:
u(x,t_n) = 0 für alle x, wenn t_n = π(2n+1)∕2ω, mit n = 0,±1,±2,±3... .

Stehende Wellen - Die schwingende Saite

Eingespannte schwingende Saite: Schwingungsmoden mit feststehenden Schwingungsknoten.

Ein an zwei Enden befestigtes elastisches Seil ("schwingende Saite") kann stehende Wellen ausbilden, allerdings nur mit bestimmten Wellenlängen.
Nehmen wir an, die Befestigungspunkte des Seils haben den Abstand L voneinander. Die Befestigungspunkte sind zwangsläufig Schwingungsknoten (=Orte, an denen die Saite immer in Ruhe ist). Eine stehende Welle hat eine bestimmte Anzahl n von "Schwingungsbäuchen" zwischen den Befestigungspunkten. Die Animation zeigt stehende Wellen mit 1,2,3 und 4 Schwingungsbäuchen (bzw. 0,1,2 und 3 Schwingungsknoten zwischen den Befestigungspunkten).
Die Schwingung, die (außer den Befestigungspunkten) keine weiteren Schwingungsknoten und nur einen Schwingungsbauch hat, nennt man die Grundschwingung der Saite.

Die Länge eines Schwingungsbauches ist genau die halbe Wellenlänge der stehenden Welle. Es ist also L ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge. Die einzig möglichen Wellenlängen der schwingenden Saite sind daher
λ_n = 2L/n
(wobei n = 1,2,3,... die Anzahl der Schwingungsbäuche ist; n-1 ist die Anzahl der Schwingungsknoten).
Die Frequenz der stehenden Welle ist direkt proportional zu n und hängt außerdem von der Masse und den Elastizitätseigenschaften der schwingenden Saite ab. Die Frequenz der Grundschwingung nennt man Grundfrequenz.

Übungsaufgaben

Übung:
Ein gespanntes elastisches Seil hat eine charakterische Wellengeschwindigkeit v (diese hängt von der Spannung und der Massendichte des Seils ab). Finde eine Formel, die die Grundfrequenz f₀ einer schwingenden Saite mit der Wellengeschwindigkeit v in Beziehung setzt.

Lösung:
Geschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz werden durch folgende Formel verknüpft:
v = λ/T = λ f
Dabei ist λ die Wellenlänge, T die Schwingungsdauer, und f = 1/T die Frequenz. Für die Grundschwingung ist λ = 2L, also gilt v = 2 L f₀ oder f₀ = v/(2L)

Hinweise für LehrerInnen

Was sind Teilchenstrahlen?

Der Film zeigt die klassisch-physikalische Vorstellung von einem idealisierten Teilchenstrahl: Identische punktförmige Teilchen, die zufällig über den Strahlquerschnitt verteilt sind und die sich alle mit derselben konstanten Geschwindigkeit bewegen (hohe Teilchendichte).

Der Film zeigt die klassisch-physikalische Vorstellung von einem idealisierten Teilchenstrahl: Identische punktförmige Teilchen, die zufällig über den Strahlquerschnitt verteilt sind und die sich alle mit derselben konstanten Geschwindigkeit bewegen (geringe Teilchendichte).

Ein Teilchenstrahl besteht aus einer bestimmten Sorte von Elementarteilchen, zum Beispiel Elektronen, die sich alle mit ungefähr derselben Geschwindigkeit in ungefähr dieselbe Richtung bewegen.
Ein Elektronenstrahl wird erzeugt, indem man die Elektronen, die aus einem glühenden Draht entweichen, durch elektrische und magnetische Felder beschleunigt und fokussiert.
Andere Quellen von Teilchenstrahlen sind Kernreaktoren (Neutronenstrahlen) oder Elementarteilchenbeschleuniger.
Der Film zeigt, wie man sich einen Teilchenstrahl in der klassischen Physik vorstellt.

In der Quantenphysik hat sich diese Vorstellung als falsch herausgestellt. Zwar denkt man sich die Teilchen noch immer als Massenpunkte, aber die Vorstellung von der Bewegung entlang einer bestimmten Bahnkurve gehört in die Zeit vor der Quantenphysik.
In der Praxis könnte man die einzelnen Teilchenbahnen sowieso nicht genau verfolgen. Meist befinden sich in einem Teilchenstrahl Milliarden von Teilchen, die sich außerdem mit extrem hoher Geschwindigkeit bewegen. Mit Detektoren kann man immerhin die ungefähren Teilchenorte messen und zählen, wieviele Teilchen pro Sekunde in ein bestimmtes Raumgebiet (Detektoröffnung) gelangen. Detektoren sind heute so empfindlich, dass sie bereits auf das Eintreffen von einzelnen Elementarteilchen reagieren.
Elementarteilchen können aufeinander Kräfte ausüben (Elektronen zum Beispiel stoßen einander wegen ihrer negativen Ladung ab). Für die von uns betrachteten Teilchenstrahlen sollen die Teilchen im Strahl aber so dünn verteilt sein, dass man ihre Wechselwirkung vernachlässigen kann (geringe Teilchendichte).

Elementarteilchen sind extrem klein. Selbst wenn sich Milliarden Teilchen im Strahl befinden, kann der Abstand der Teilchen untereinander groß sein im Vergleich zur Reichweite ihrer Wechselwirkung.
Lichtteilchen (Photonen) üben aufeinander überhaupt keine Kräfte aus. Lichtstrahlen können daher ruhig eine hohe Intensität haben. Bereits ein normaler Laserpointer produziert ca 3 x 10¹⁵ Photonen pro Sekunde und der Strahldurchmesser beträgt nur etwa einen Millimeter. Bei großer Intensität (große Teilchenzahl) lassen sich quantenmechanische Effekte (wie zum Beispiel die Wellennatur der Bewegung) natürlich leichter beobachten.

Visualisierung von Teilchenstrahlen

Da reale Teilchenstrahlen in der Regel Milliarden von Teilchen enthalten, macht es keinen Sinn, einzelne Punkte zu zeichnen. Dann stellen wir einfach die Teilchendichte durch einen Grauton dar.
Schematische Darstellungen (Dichtegrafiken) von Teilchenstrahlen:

Abbildung 4: Die Teilchendichte, visualisiert durch einen Grauton, ist in der Mitte am größten und nimmt zum Rand hin ab. Entlang des Strahls ist sie konstant.

Abbildung 5: Der dunkle Grauton symbolisiert eine geringe Teilchendichte (dünn besetzter Strahl, niedrige Intensität). Die Geschwindigkeit der Teilchen wird durch diese Form der Darstellung nicht visualisiert.

Anders als bei einer Welle, sehen wir in der Teilchendichte eines idealen Teilchenstrahls keinerlei räumlich oder zeitlich periodische Struktur (eine Welle hingegen hat Wellenberge und Wellentäler).
Wenn Teilchenstrahlen auf Hindernisse treffen, können sie in alle Richtungen gestreut werden. Die Teilchendichte ist dann stark ortsabhängig.

Teilchendichte

Abbildung 6: Momentaufnahme einer Teilchenwolke mit inhomogener Teilchendichte: Der Ort eines jeden Teilchens wird durch einen weißen Punkt markiert.

Abbildung 7: Momentaufnahme einer Teilchenwolke mit inhomogener Teilchendichte: Die Ortsverteilung der Teilchen wird durch eine kontinuierliche Funktion, die Teilchendichte, beschrieben. Der Funktionswert wird durch einen Grauton visualisiert. Dunkel sind die Regionen mit geringer Teilchendichte, hell sind die Regionen, wo sich viele Teilchen aufhalten.

Wenn sehr viele Teilchen (typischerweise Milliarden) in einem Raumgebiet vorhanden sind, ist es sinnlos, den genauen Ort und die Bewegung eines jeden Teilchens beschreiben zu wollen. Man verwendet dann eine kontinuierliche Größe, die sogenannte Teilchendichte, um die örtliche Verteilung der Teilchen zu beschreiben.

Homogene Verteilung: Wir betrachten zunächst den Fall, dass die Teilchen im betrachteten Raumgebiet gleichmäßig verteilt sind. Das heißt: Unterteilen wir das Raumgebiet in lauter gleich große Teilstücke der Größe ∆V (wobei jedes Teilstück noch sehr viele Teilchen enthalten möge), so befinden sich in jedem Teilstück (im Rahmen der Zählgenauigkeit) die gleiche Zahl ∆N von Teilchen. Dann definiert man die Teilchendichte als den Quotienten
η = ∆N / ∆V.
Inhomogene Verteilung: Wenn die Teilchen nicht gleichmäßig verteilt sind, dann ändert sich die Teilchendichte von Ort zu Ort. Man beschreibt das durch eine ortsabhängige Funktion η(x) die an jedem Punkt x die dort vorherrschende Teilchendichte angibt. Mit Hilfe von η(x) kann also man die ungefähre Zahl der Teilchen berechnen, die sich in einem kleinen Volumen ∆V um den Punkt x befinden. Diese Anzahl ist ungefähr
∆N = η(x) ∆V
Die Beschreibung der Verteilung von punktförmigen Teilchen durch eine kontinuierliche Funktion η ist eine mathematische Idealisierung. Die obige Gleichung ist nur dann einigermaßen genau, wenn das Volumen ∆V einerseits so klein ist, dass die Funktion η an allen Punkten von ∆V ungefähr denselben Wert hat, wie an der Stelle x (also den Wert η(x)). Andererseits muss ∆V aber so groß sein, dass noch immer sehr viele Teilchen in diesem Volumenstück enthalten sind. Wenn η(x) ∆V zu klein ist, würde aufgrund der zufälligen Platzierung der Teilchen auch die Teilchenzahl ∆N starke zufällige Schwankungen aufweisen.
In einer Dimension kann die Teilchendichte durch einen Funktionsgraphen dargestellt werden. In der Ebene stellen wir die Teilchendichte durch eine Dichtegrafik dar.

Aufgabe:

Übung:
Teilchendichte in einer Dimension: Diese Abbildung zeigt links einige Beispiele von Teilchenstrahlen (Momentaufnahmen), bei denen die Teilchendichte variabel ist. Wir wollen die Teilchendichte längs des Teilchenstrahls durch eine Funktion beschreiben, die nur von der Koordinate entlang der Strahlrichtung abhängt. Die Dichteverteilung quer zur Strahlrichtung soll nicht beschrieben werden. Die Funktion soll nur angeben, wieviele Teilchen pro Längeneinheit sich am jeweiligen Ort im Strahl befinden. Rechts in der Abbildung befinden sich einige Beispiele von solchen Dichteverteilungen entlang von Teilchenstrahlen. Es ist die Aufgabe, herauszufinden, welche der Teilchendichten 1-6 zu welchen Bildern A-F gehören.

Abbildung 8

Lösung:
A - 4
B - 3
C - 1 (vergleiche mit A, dort ist die Dichte wesentlich höher)
D - 6
E - 2
F - 5 (der Strahl weitet sich auf, aber die Anzahl pro x-Intervall bleibt konstant)

Teilchenstromdichte

Abbildung 9: In einem Teilchenstrahl mit Geschwindigkeit v passieren alle Teilchen im gezeichneten Quader innerhalb der Zeit t ein Rechteck A, das quer zur Bewegungsrichtung aufgestellt ist. Das Volumen des Quaders ist A v t.

Wir betrachten einen Teilchenstrahl, bei dem sich alle Teilchen mit der Geschwindigkeit v in dieselbe Richtung bewegen. Wir denken uns nun eine Fläche A senkrecht zur Bewegungsrichtung. Innerhalb der Zeit t legt jedes Teilchen die Strecke s = v t zurück. In der Zeit t treten also alle Teilchen in einem Volumen der Größe A v t durch diese Querschnittfläche A. Wenn im betrachteten Raumgebiet die Teilchendichte η ist, so ist die Anzahl dieser Teilchen gleich Teilchendichte η mal Volumen A v t, also
n = η A v t.
Dividiert man das durch Fläche und Zeit, erhält man die Größe
j = η v.
Sie beschreibt demnach die Anzahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit und pro Flächeneinheit durch eine (quer zur Bewegungsrichtung gedachte) Fläche treten. Man nennt sie die Teilchenstromdichte.

In der Regel versucht man, Teilchenstrahlen so zu präparieren, dass alle Teilchen eine bestimmte Geschwindigkeit v haben. In der Praxis werden die Teilchen um einen Mittelwert <v> der Geschwindigkeit verteilt sein. Nicht nur der Betrag der Geschwindigkeit, sondern auch die Richtung der Bewegung wird dabei zufälligen Schwankungen unterworfen sein.
Die Teilchenstromdichte j = η <v> beschreibt dann die mittlere Anzahl der pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche quer zur Bewegungsrichtung tretenden Teilchen.
Wenn die Teilchendichte und die Strömungsgeschwindigkeit der Teilchen von Ort zu Ort verschieden ist, dann ist auch die Teilchenstromdichte von Ort zu Ort verschieden. Man beschreibt diese Situation idealisiert durch eine Funktion j(x), die die Teilchenstromdichte am Ort x angibt.
Die Teilchenstromdichte j(x) beschreibt die mittlere Anzahl der Teilchen, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche treten, die am Ort x quer zur Bewegungsrichtung der Teilchen aufgestellt ist.

Aufgaben

Übung:
Was ist die physikalische Einheit der Teilchenstromdichte?

Lösung:
Die physikalische Größe j = η v hat die Einheitendimension von
Teilchendichte * Geschwindigkeit = (Anzahl / Volumen) * (Länge / Zeit) = Anzahl / (Länge*Länge*Zeit).
Die physikalische Einheit ist daher 1/(m² s).

Massen- und Ladungsdichten und dazugehörige Stromdichten

Massendichte und Ladungsdichte

Wir betrachten einen Teilchenstrahl, der aus lauter Teilchen derselben Sorte besteht. Alle Teilchen haben daher dieselbe Masse m und dieselbe Ladung e. Wenn die Teilchendichte η ist, ist die Anzahl ∆N der Teilchen in einem kleinen Volumensbereich ∆V gleich ∆N = η ∆V. Die gesamte Masse in diesem Volumen ist daher
∆M = m ∆N = η m ∆V.
Die gesamte elektrische Ladung im Volumen ∆V ist
∆Q = e ∆N = η e ∆V.
Wenn die im Raum verteilten Teilchen die Teilchendichte η(x) haben, nennt man m*η(x) die Massendichte und e*η(x) die Ladungsdichte.

Ströme von Massen und Ladungen

Mit der Bewegung der Teilchen im Strahl wird Masse transportiert, die Masse "strömt". Sei <v> die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen. Die Größe
μ = η m <v>
bezeichnet man als Massenstromdichte. Sie gibt die Masse an, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche (quer zur Bewegungsrichtung gedacht) hindurchströmt.
Ebenso definiert man eine Ladungsstromdichte
ρ = η e <v>
Sie gibt die Ladung an, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche quer zur Bewegungsrichtung transportiert wird.

Impulsdichte

Oft beschreibt man den Bewegungszustand durch den Impuls, p = mv. Der mittleren Geschwindigkeit <v> entspricht der mittlere Impuls <p> = m <v> des Teilchenstrahls.
Die Massenstromdichte
μ = η m <v> = ∆N <p>/∆V
ist daher gleich der Anzahl der Teilchen mal dem (mittleren) Impuls eines jeden Teilchens dividiert durch das Volumen, also der Gesamtimpuls pro Volumeneinheit. Die Massenstromdichte heißt daher auch Impulsdichte des Strahls.