Quantenmechanik

visualisiert und animiert

Das Wasserstoffatom

  1. Einleitung
  2. Kraft, Umlaufbahn, stehende Welle
  3. Stehende Wellen im Atom

Einleitung

Physik des Wasserstoffatoms - Einleitung

Abbildung 1. Antiquiertes Bild vom Atom: Elektronen, die um den
                              Atomkern kreisen.

Abbildung 1. Antiquiertes Bild vom Atom: Elektronen, die um den Atomkern kreisen.

Abbildung 2. Modernes Bild vom Wasserstoffatom: Dreidimensionale,
                              stationäre Schwingung einer Wellenfunktion.

Abbildung 2. Modernes Bild vom Wasserstoffatom: Dreidimensionale, stationäre Schwingung einer Wellenfunktion.

Aufbau der Atome

Die Quantenmechanik konnte in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts die Physik des Atomaufbaus vollständig erklären. Schon zu Beginn dieses Jahrhunderts war bekannt, dass Atome aus einem positiv geladenen Atomkern bestehen, der (im Vergleich zu den Abmessungen des Atoms) sehr klein ist. Durch die Anziehungskraft dieses Atomkerns werden ein oder mehrere Elektronen an ihn gebunden. Sie können sich also nicht frei durch den Raum bewegen, sondern müssen sich immer in der Nähe des Atomkerns aufhalten.
Der Atomkern besteht aus Protonen und Neutronen. Protonen sind positiv geladene Elementarteilchen, Neutronen sind neutral. Der Atomkern wird durch die sogenannte Kernkraft zusammengehalten, eine Kraft, die nicht elektromagnetischen Ursprungs ist. Die Physik des Atomkerns nennt man auch Kernphysik.
Den Bereich eines Atoms, in dem sich die Elektronen aufhalten, nennt man die Hülle. Ein Atom ist nach außen hin neutral, wenn es in der Hülle gleich viele Elektronen enthält, wie Protonen in seinem Kern. Ein Atom wird zu einem positiv geladenen Ion, wenn es ein oder mehrere seiner Elektronen verliert. Ein negativ geladenes Ion hat ein oder mehrere überschüssige Elektronen.

Das Wasserstoffatom

Hier werden wir uns nur mit der Quantenmechanik des Wasserstoffatoms befassen. Es ist das einfachste aller Atome. Sein Atomkern besteht nur aus einem einzigen Proton. Die Hülle wird von einem einzigen Elektron gebildet. Dieses negativ geladene Elektron wird durch die Coulombkraft des positiv geladenen Protons gebunden. Das Proton ist winzig im Vergleich zur Ausdehnung der Elektronenhülle. Das Proton wird durch die Anwesenheit eines Elektronen in seiner Bewegung und seinem Verhalten kaum gestört, da es ca. 1800 mal schwerer als ein Elektron ist. Wir werden daher - zur Vereinfachung - das Proton als ein feststehendes, punktförmiges Kraftzentrum behandeln, das im Koordinatenursprung ruht.
Wenn ein Elektron durch die Anziehungskraft des Protons an den Atomkern gefesselt ist (sich also zu allen Zeiten in der Nähe des Atomkerns aufhält), dann spricht man von einem "Bindungszustand" des Elektrons. Die möglichen Bindungszustände des Elektrons werden wir mit Hilfe von Wellenfunktionen beschreiben. Ganz speziell werden wir uns für mögliche stationäre Schwingungen (=stehende Wellen) der Elektron-Wellenfunktion interessieren. Zu jeder stationären Schwingung gehört eine bestimmte Energie, die mit der Frequenz dieser Schwingung zusammenhängt. In der Atomphysik (wie auch in der klassischen Physik) werden die Energien der Bindungszustände negativ gerechnet: Ein freies, ruhendes Teilchen hat die Energie Null, ein in einem anziehenden Kraftfeld gebundenes Teilchen hat demgegenüber eine geringere Energie (man muss ja Energie hineinstecken, um es aus dem Kraftfeld zu lösen). Die stationäre Schwingung mit der geringsten Energie heißt Grundzustand.

Wie groß sind Atome?

Die genaue Größe eines Atoms kann man nicht angeben, da die Wellenfunktion kontinuierlich nach außen hin abnimmt und damit einfach die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons mit zunehmender Entfernung vom Atomkern kleiner wird. Die typische Größe eines Wasserstoffatoms wird durch seinen "Bohr-Radius" beschrieben (Niels Bohr, 1885-1962). Der Bohr-Radius ist der durchschnittliche Abstand zwischen Elektron und Proton im Zustand mit der geringsten Energie. Ein Bohr-Radius ist ungefähr 5 mal 10-11m. Er dient oft als Längeneinheit in der Atomphysik. Ein Proton ist mit einer typischen Größe von 10-15m dagegen winzig klein.
Die Größe eines Wasserstoffatoms hängt aber auch ganz wesentlich davon ab, was für eine Schwingung die Wellenfunktion vollführt. Je höher die Energie der Schwingung, desto größer ist die durchschnittliche Entfernung des Elektrons vom Atomkern. Der in der Abbildung 2 gezeigte Raumbereich hat immerhin einen Durchmesser von ungefähr 600 Bohr-Radien.

Hinweise für LehrerInnen


Kraft, Umlaufbahn, stehende Welle

Wellenpaket in einer Umlaufbahn

Video: Wellenpaket in einer Umlaufbahn um ein Proton: Blick von oben auf die Bahnebene. Es ist T0 = 1,5 x 10-10 Sekunden. Die Längeneinheit der Koordinatenachsen ist 1000 Bohr-Radien. Der Bahndurchmesser ist ungefähr ein Millionstel Meter.

Ein Elektron umkreist den Atomkern

Der Film zeigt die Wellenfunktion eines Elektrons, das durch ein anziehendes Kraftzentrum in eine Umlaufbahn ("Orbit") gezwungen wird. Während der Bewegung zerfließt das anfänglich noch einigermaßen lokalisierte Wellenpaket und verteilt sich bald über den ganzen Orbit, wobei es annähernd ringförmige Gestalt annimmt.
Das Kraftzentrum, das sich in der Mitte im Koordinatenursprung befindet, könnte durch ein (annähernd) ruhendes Proton gebildet werden. Das Proton ist positiv geladen und übt daher eine anziehende Kraft (Coulombkraft) auf das negativ geladene Elektron aus. Da das Proton ca 1800 mal schwerer ist, als das Elektron, wird seine Bewegung durch das Elektron so gut wie gar nicht gestört. Ganz ähnlich, wie die Bewegung der Sonne durch die sie umkreisenden Planeten kaum gestört wird.
Der Film zeigt also eigentlich ein Wasserstoffatom. Dieses einfachste aller Atome wird nämlich durch ein Proton als Atomkern und ein einziges daran gebundenes Elektron gebildet. Allerdings ist das hier gezeigte Gebilde für ein Atom ungewöhnlich groß.

Einheiten und Größenordnungen

Die Zeiteinheit (T0) in der Beschriftung des Films ist gerade jene Zeit, die ein entsprechendes klassisches, punktförmiges Teilchen gemäß der klassischen Mechanik brauchen würde, um das Kraftzentrum einmal zu umrunden. Für dieses Beispiel beträgt diese Zeit etwa 1,5 mal 10-10 Sekunden. Das ist auch ungefähr die Zeit, die das quantenmechanische Wellenpaket dafür braucht, solange es noch einigermaßen lokalisiert ist.
Die Längeneinheit der Koordinatenachsen ist 1000 Bohr-Radien (1 Bohr-Radius ist ungefähr 5 mal 10-11m). Der Bahnradius beträgt hier also ungefähr 10000 Bohr-Radien, das sind ungefähr 5 mal 10-7m = 500 Nanometer. Am alltäglichen Maßstab gemessen zeigt der Film also ein winzig kleines Gebilde.
Dennoch befindet sich das Elektron hier in ungewöhnlich großer Entfernung vom Atomkern. Der Radius eines "normalen" Wasserstoffatoms ist in der Größenordnung von nur einem Bohr-Radius. Atome, in denen die Elektronen vergleichsweise riesige Bahnradien haben, nennt man Rydberg-Atome.
Rydberg-Atome sind in einem gewissen Sinne "nahe" an der klassischen Physik. Zumindest für eine gewisse Zeit bewegt sich das Elektron noch so, wie man es von der klassischen Physik her erwarten würde - es umkreist den Atomkern. Erst nach einiger Zeit, wenn sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf die ganze Umlaufbahn verteilt und Interferenzen auftreten, bestimmen quantenmechanische Gesetze die Bewegung.


Perfekte Kreisbewegung - Ringförmiges Wellenpaket

Video: Ringförmiges Wellenpaket - Exakt kreisförmige Umlaufbahn: Großer Bahnradius (Die Längeneinheit in der Achsenbeschriftung ist der Bohr-Radius rBohr = 5.29177 × 10−11 m)

Video: Ringförmiges Wellenpaket - Exakt kreisförmige Umlaufbahn: Mittlerer Bahnradius (Die Längeneinheit in der Achsenbeschriftung ist der Bohr-Radius rBohr = 5.29177 × 10−11 m)

Video: Ringförmiges Wellenpaket - Exakt kreisförmige Umlaufbahn: Kleiner Bahnradius

Der Film zeigt das perfekte quantenmechanische Analogon zur exakten klassischen Kreisbewegung um ein Kraftzentrum. Man kann sich diese Wellenfunktion wie eine zu einem Kreisring zusammengebogene ebene Welle vorstellen. Der Betrag der Wellenfunktion ist entlang eines jeden Kreises um das Zentrum konstant. Der Ort des Teilchens (seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit) ist also offenbar gleichmäßig über die ganze Bahn verschmiert. Das heißt, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in irgendeinem Abschnitt dieser Kreisbahn zu finden, für alle gleich langen Bahnabschnitte gleich groß ist.
So wie bei einer ebenen Welle gilt auch bei dieser Wellenfunktion: die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ändert sich mit der Zeit überhaupt nicht. Man nennt einen Zustand des Elektrons, bei dem sich die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zeitlich nicht ändert, einen stationären Zustand. Bei einem stationären Zustand hängt der Betrag der Wellenfunktion nicht von der Zeit ab. Wie bei der ebenen Welle steckt die Zeitäbhängigkeit zur Gänze in der Phase der Wellenfunktion, die durch die Farbe visualisiert wird.
Die Position des Atomkerns (des Protons) ist hier durch den Punkt im Zentrum markiert. Tatsächlich ist das Proton viel zu klein, um hier abgebildet werden zu können.
Stationäre Zustände mit perfekt ringförmiger Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt es viele. Man kann sie danach klassifizieren, wieviele Wellenlängen entlang des Rings Platz haben (das sieht man zum Beispiel an der Anzahl m der roten Streifen).
Hier zeigen wir ringförmige Wellen mit m=59, m=7, und m = 1.
Je kleiner der Bahnradius, desto niedriger ist auch die Energie des Wellenpakets.


Kreisbewegung mit radialen Schwingungsknoten

Video: Im Kreis bewegtes Wellenpaket mit radialen Knoten (Nullstellen)

Die stationären Zustände in einem Wasserstoffatom können auch stationäre "Schwingungsknoten" haben. An einem solchen Schwingungsknoten ist die Wellenfunktion für alle Zeiten Null. Die Wellenfunktion im hier gezeigten Film hat sogenannte radiale Knoten. Das bedeutet, dass in gewissen Abständen vom Atomkern (also bei gewissen Radien) die Wellenfunktion Null ist. Hier sieht man diese Nullstellen als konzentrische schwarze Kreise. Da es sich eigentlich um einen Querschnitt durch eine dreidimensionale Wellenfunktion handelt, sind diese radialen Knoten eigentlich Kugelflächen. Man spricht daher auch von Knotenflächen. Die Anzahl dieser radialen Schwingungsknoten ist mit ein Maß für die Energie der Welle. Ebenso ist die Anzahl m der Wellenlängen entlang eines der farbigen Ringe um das Zentrum (also zB. die Anzahl m der roten Stellen auf jedem Ring) ein Maß für die Energie. Bei der hier gezeigten Welle ist m=3.
Man beachte: Obwohl die Wellenfunktion aus mehreren räumlich nichtzusammenhängenden Teilen (den einzelnen Ringen) besteht, handelt es sich hier dennoch um die Wellenfunktion eines einzelnen Elektrons. Wenn sich das Elektron im hier gezeigten Zustand befindet, dann findet man es bei einer Ortsmessung irgendwo innerhalb einer der ringförmigen Zonen, mit größter Wahrscheinlichkeit, dort, wo die Wellenfunktion einen großen Betrag hat. Auf einer Knotenfläche hingegen ist das Elektron niemals zu finden und auch die Umgebungen der Knotenflächen sind Orte von sehr geringer Aufenthaltswahrscheinlichkeit.


Stehende Welle als Überlagerung gegenläufiger Kreiswellen

Video: Überlagerung gegenläufiger Kreiswellen

Wenn man zwei Wellenfunktionen, die den Atomkern in entgegengesetzter Richtung umrunden, überlagert, erhält man eine stehende Welle. Dieser Vorgang ist ganz analog wie die Bildung stehender Wellen aus geradeaus laufenden ebenen Wellen.
Hier entsteht aus zwei gegenläufigen Wellen eine stationäre Schwingung. Alle hier gezeigten Zustände sind sogenannte stationäre Zustände, weil sich ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht ändert, sondern zeitlich konstant ("stationär") bleibt. Nur die Farben (also der nicht direkt beobachtbare Phasenwinkel) ändern sich periodisch mit der Zeit.
In der stationären Schwingung (Wellenfunktion ganz rechts) werden Drehbewegungen in beide Richtungen mit gleicher Wellenamplitude überlagert. Misst man an einem so beschriebenen Elektron den Drehimpuls, findet man mit gleicher Wahrscheinlichkeit (50%) einen positiven oder einen negativen Wert. (Genauer: Es ist der Drehimpuls um die z-Achse gemeint, die hier senkrecht zur Bildebene ist)

Anmerkung für Spezialisten

Die erste der beiden zur Überlagerung kommenden Wellen entspricht einer Teilchenbewegung entgegen dem Uhrzeigersinn (positiver Drehimpuls um die z-Achse), obwohl die Phasenfarben sich im Uhrzeigersinn drehen. Die zweite Welle beschreibt eine Bewegung im Uhrzeigersinn (negativer Drehimpuls). Die Bewegung der Phasenfarben ist hier der tatsächlichen Bewegung entgegengesetzt, weil das gebundene Elektron eine negative Gesamtenergie hat. Ein Charakteristikum für Wellenfunktionen mit negativer Energie ist, dass die Phasengeschwindigkeit entgegengesetzt zum Impuls (also zur Geschwindigkeit) des Teilchens ist (die Abfolge der Farben rot-gelb-grün etc. definiert übrigens die Impulsrichtung - bei der ersten Wellenfunktion ist das entgegen dem Uhrzeigersinn, bei der zweiten in der Mitte im Uhrzeigersinn).


Größenvergleich der Wellenfunktionen, Grundzustand

Diese Bilder zeigen wieder, von oben betrachtet, Wellenfunktionen, die sich mit einer bestimmten Anzahl von Wellenlängen bzw. Schwingungsknoten, um den (hier unsichtbaren) Atomkern herum gelegt haben. Alle Bilder haben den selben Abbildungsmaßstab, damit ein Größenvergleich möglich ist. Alle gezeigten Wellenfunktionen beschreiben stationäre Zustände: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bleibt zeitlich konstant.

Abbildung 3. Momentaufnahmen von Wellenfunktionen

Links: Ringförmige Wellenfunktionen.
Rechts: Stationäre Schwingung, die durch Überlagerung der ringförmigen Wellenfunktion links und einer mit gegenläufiger Phase gebildet wird.
Die eingezeichneten Konturlinien markieren die Bereiche mit der größten Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Wir sehen: Je weniger Wellenlängen (oder Schwingungsbäuche) um den Atomkern herum arrangiert sind, desto geringer ist der durchschnittliche Abstand des Elektrons vom Atomkern.
Die unterste Bildzeile in Abb.1 zeigt eine Wellenfunktion, bei der nur mehr eine einzige Wellenlänge vorhanden ist. Ist das der Zustand, bei dem das Elektron dem Atomkern am nächsten ist?
Nein!
Tatsächlich gibt es einen Zustand ganz in der Nähe des Kernes. Er hat gar keine Schwingungsknoten und ist völlig kugelsymmetrisch. Hier sind Bilder davon:

Abbildung 4. Zustand ohne Schwingungsknoten (Grundzustand)

Links: Abbildung im Maßstab der Bilder oben.
Rechts: Vergrößerte Abbildung. Die strichlierte Linie zeigt den sog. Bohr-Radius.

Der Zustand ohne Schwingungsknoten heißt der Grundzustand. Von allen Zuständen hat der Grundzustand die geringste Energie.
Die Wellenfunktion des Grundzustands kommt nicht durch eine Überlagerung von entgegengesetzt umlaufenden Wellen zustande. Ein Elektron, das durch diese Wellenfunktion beschrieben wird, vollführt keinerlei Kreisbewegung. Der Drehimpuls dieser Wellenfunktion ist Null.
Im Grundzustand hat das Elektron von allen Zuständen den geringsten mittleren Abstand vom Atomkern. Der mittlere Abstand des Elektrons vom Atomkern im Grundzustand ist der sogenannte Bohr-Radius (Niels Bohr, 1885-1962). Er ist in Abb.2 links als strichlierte Kreislinie markiert. Der Bohr-Radius wird in der Atomphysik oft als Längeneinheit verwendet. In internationalen Einheiten ist
rBohr = 5.29177 × 10−11 m


Stationäre Schwingungsmuster (stehende Wellen)

Video: Stehende Wellen um ein punktförmiges Kraftzentrum (Atomkern, kleiner weißer Punkt in der Mitte). Die Abbildungen sind Querschnitte durch dreidimensionale Wellenfunktionen.

Ein quantenmechanisches Wellenpaket wird durch die Anziehungskraft des Atomkerns gezwungen, sich immer in dessen Nähe aufzuhalten. Hier können sich nun räumliche, stehende Wellen ausbilden. Stehende Wellen sind feststehende Schwingungsmuster. Dabei arrangieren sich Schwingungsbäuche und Schwingungsknoten in einem räumlichen Muster um den Atomkern. Viele unterschiedliche Schwingungsformen sind möglich, die Abbildung zeigt nur einige wenige. Die möglichen Schwingungsformen werden durch sogenannte Quantenzahlen beschrieben.
Die zweidimensionalen Abbildungen sind eigentlich Querschnitte von dreidimensionalen Wellenfunktionen.


Stehende Wellen im Atom

Visualisierung von Wellenpaketen in drei Dimensionen
Abbildung 5: Querschnitt durch eine dreidimensionale Wellenfunktion.
                           Konturlinien (Isolinien).

Abbildung 5: Querschnitt durch eine dreidimensionale Wellenfunktion. Konturlinien (Isolinien).

Abbildung 6: Isoflächen visualisieren die dreidimensionale Struktur
                           der Wellenfunktion

Abbildung 6: Isoflächen visualisieren die dreidimensionale Struktur der Wellenfunktion

In drei Raumdimensionen ist es nicht mehr möglich, alle Eigenschaften einer farbwertigen Wellenfunktion in einem Bild festzuhalten. Jede Visualisierung ist ein Kompromiss aus Vollständigkeit und Anschaulichkeit.
Abbildung 5 zeigt einen Querschnitt durch die an sich dreidimensionale Funktion. Die komplementären Farben rot bzw. blaugrün deuten an, dass in den entsprechenden Bereichen die zweidimensionale Wellengröße in entgegengesetzte Richtungen zeigt. Die Isolinien (auch Konturlinien, Höhenlinien) verdeutlichen den Verlauf der Intensität der Wellenfunktion. Entlang so einer Linie ist der Betrag der Wellenfunktion konstant.
Beispiele für Isolinien (Linien, entlang derer eine bestimmte Größe einen konstanten Wert hat) finden sich auch in vielen anderen Bereichen:

  • Höhenschichtenlinien (Isohypsen), die die Orte mit einer konstanten Höhe über dem Meeresspiegel auf einer Landkarte angeben,
  • Isobaren, die Linien konstanten Luftdrucks auf einer Wetterkarte,
  • Isothermen, die Orte mit einem bestimmten Wert der Lufttemperatur auf einer Wetterkarte verbinden.

Abbildung 6 zeigt die dreidimensionale Gestalt der Wellenfunktion. Die ringförmigen Flächen sind Isoflächen der Intensität. Diese Isoflächen entsprechen den Isolinien der zweidimensionalen Abbildung. Überall auf der Isofläche hat die Wellenfunktion einen konstanten Betrag (also eine konstante Intensität). Der Phasenwinkel wird wie üblich durch die Farbe gekennzeichnet.
ie Isoflächen beschreiben zwei verschiedene Werte des Betrages. Die nicht transparente Fläche (bestehend aus mehreren Ringen) gehört zu einem großen Betragswert. Die transparente, größere Fläche, gehört zu einem kleineren Betragswert. Sie umschließt die erste Fläche vollständig, und musste aus diesem Grund durchsichtig dargestellt werden.
Um auch in der dreidimensionalen Abbildung den Eindruck einer scharfen Grenze der Wellenfunktion zu vermeiden, haben wir noch eine transparente Querschnittfläche hinzugefügt, die den sanft nach außen hin abfallenden Verlauf der Wellenfunktion darstellt.


Vergleich von Visualisierungsmethoden

Video: Visualisierung einer räumlichen Wellenfunktion durch eine Isofläche

Video: Visualisierung einer räumlichen Wellenfunktion auf einer vertikalen Schnittebene. Hier lassen wir eine Querschnittsfläche, auf der die Wellenfunktion durch eine farbige Dichtegrafik dargestellt ist, durch den Raum wandern. Dadurch können wir deutlich machen, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Helligkeit) keine scharfen Grenzen hat, sondern nach außen hin stetig abnimmt. Man kann auch gut die Bereiche erkennen, wo die Wellenfunktion Null ist.

Video: Visualisierung einer räumlichen Wellenfunktion auf einer horizontalen Schnittebene. Hier lassen wir eine horizontale Querschnittsfläche, auf der die Wellenfunktion durch eine farbige Dichtegrafik dargestellt ist, durch den Raum wandern. Die ringförmige Struktur der Wellenfunktion wird dadurch gut sichtbar. Zwischen den Ringen sind die Flächen, auf denen die Wellenfunktion Null ist. Zusammen mit der Darstellung der vertikalen Schnittebene kann man die Form dieser Flächen gut erforschen. Es handelt sich um kugelförmige Flächen, die konzentrisch um den Mittelpunkt des Datenvolumens (Würfel), angeordnet sind, sowie um einen Doppelkegel mit Zentrum ebenfalls im Mittelpunkt des Würfels. Eine Nullstellenline ist die vertikale Achse in der Mitte (die z-Achse).

In drei Raumdimensionen ist es nicht mehr möglich, alle Eigenschaften einer farbwertigen Wellenfunktion in einem Bild festzuhalten. Jede Visualisierung ist ein Kompromiss aus Vollständigkeit und Anschaulichkeit.
Wir vergleichen nun mehrere Visualisierungsmethoden, die es mit Hilfe von Animation erlauben, ein dreidimensionales Datenvolumen zu untersuchen.
Hier stellen wir eine sogenannte Isofläche für den Betrag der Wellenfunktion dar. Der Phasenwinkel wird wie üblich durch die Farbe gekennzeichnet.
Die hier gezeigte Isofläche ist eine Oberfläche im Raum, auf der der Betrag der Wellenfunktion überall einen bestimmten Betrag hat. Geht man von der Fläche nach innen, gelangt man zu höheren Werten des Betrages. Geht man nach außen, nimmt der Betrag ab. Bewegt man sich auf der Isofläche bleibt der Betrag konstant.
In der Abbildung oben kann man mit dem Schieberegler den Wert des Betrages einstellen, der durch die Isofläche angezeigt wird. Kleine Werte sind links (große Figur, da der Betrag Wellenfunktion nach außen hin abnimmt), große rechts (kleine Figur, nahe dem Atomkern positioniert, da dort die Wellenfunktion den größten Betrag hat).
Für die gezeigte Wellenfunktion ist also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten innerhalb der Ringe. Außerhalb der Ringe ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit sehr klein. Zwischen den Ringen gibt es sogar Flächen, auf denen die Wellenfunktion exakt Null ist. Dort wird man das Teilchen nie finden.


Schwingungsformen in 3D

Video: Stationäre räumliche Welle um ein Kraftzentrum.

Bei stehenden Wellen im Raum gibt es viele mögliche Schwingungsformen. Die Schwingungsknoten, also die Gebiete, in denen die Wellenfunktion immer null ist, sind Flächen und können kugelförmig oder kegelförmig sein, oder eine Ebene bilden. Man kann die stehenden Wellen danach einteilen, wie viele solche Knotenflächen vom jeweiligen Typ sie haben.
Die hier gezeigte Welle hat zwei "radiale Schwingungsknoten", also zwei konzentrische Kugelschalen, auf denen die Wellenfunktion Null ist. Dazu gibt es noch zwei kegelförmige Flächen, die einen "Doppelkegel" bilden.
Eigentlich ist das Work "Schwingung" nicht wirklich angebracht: Die Wellenfunktion oszilliert nicht hin und her. Die zeitlich periodische Bewegung besteht in der Rotation der zweidimensionalen Wellengröße, deren Richtung hier durch die Farbe dargestellt ist.

Bemerkung

Die senkrechte Richtung ist hier immer als Symmetrieachse ausgezeichnet. Das ist allerdings völlig willkürlich. Wichtig ist nur, dass die Systematik der Schwingungsformen soviele verschiedene Formen erfaßt, dass daraus durch Überlagerung alle anderen Schwingungsformen erzeugt werden können. Dann ist die Systematik "vollständig".


Schwingungsknoten, Knotenflächen
Abbildung 7: Visualisierung einiger Schwingungsknoten bei einer
                           stehenden Welle des Wasserstoffatoms. Der gezeigte Zustand hat zwei
                           kugelförmige und vier kegelförmige Knotenflächen (bzw. zwei Doppelkegel),
                           die hier zur besseren Sichtbarkeit vorne aufgeschnitten wurden.

Abbildung 7: Visualisierung einiger Schwingungsknoten bei einer stehenden Welle des Wasserstoffatoms. Der gezeigte Zustand hat zwei kugelförmige und vier kegelförmige Knotenflächen (bzw. zwei Doppelkegel), die hier zur besseren Sichtbarkeit vorne aufgeschnitten wurden.

Die Nullstellenflächen oder Schwingungsknoten der Wellenfunktion charakterisieren den Typ der stehenden Welle (=stationäre Schwingung). Hier sehen wir eine Wellenfunktion, die auf zwei konzentrischen Kugelflächen verschwindet. Außerdem gibt es noch Schwingungsknoten in Form zweier Doppelkegel. Auf diesen grauen Flächen ist die Wellenfunktion immer Null (so wie in einem Schwingungsknoten der schwingenden Saite die Auslenkung immer Null ist). Zwischen den Nullstellenflächen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Null verschieden. Die grobe Form der Ortsverteilung wird durch die eingefärbten, ringförmigen Isoflächen der Wellenfunktion angedeutet.


Systematik stehender Wellen in drei Dimensionen
Abbildung 8: Darstellung von stehenden Wellen in drei
                           Dimensionen.

Abbildung 8: Darstellung von stehenden Wellen in drei Dimensionen.

Bei stehenden Wellen im dreidimensionalen Raum gibt es viele mögliche Schwingungsformen. Die Abbildung zeigt einige wenige der einfachsten stehenden Wellen der Wellenfunktion eines Elektrons im anziehenden elektrischen Feld eines Protons. Sie werden hier durch Flächen visualisiert, um die dreidimensionale Struktur besser sichtbar zu machen. Auf jeder dieser "Isoflächen" hat die Wellenfunktion einen konstanten Betrag. Innen ist der Betrag (und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit) am größten. Die äußeren, transparenten Isoflächen gehören zu kleineren Beträgen der Wellenfunktion.
Die Abbildungen repräsentieren also mögliche (Schwingungs-) Zustände des Wasserstoffatoms. Die Nullstellenflächen der Wellenfunktion sind die Schwingungsknoten der stehenden Wellen. Im Fall der hier gezeigten Wellenfunktionen können die Nullstellenflächen Kugeln, Ebenen, oder Doppelkegel sein. Bei allen mehrfarbigen Wellenfunktionen ist außerdem die z-Achse eine Nullstellenlinie. Man kann diese Zustände danach einteilen, wieviele solche Nullstellenflächen ("Schwingungsknoten") vom jeweiligen Typ sie haben.
Die Schwingungen sind stationär. Mit der Zeit ändert sich die Form der Gebilde oder die Lage der Nullstellenflächen nicht. Nur die Farbe ändert sich periodisch mit der Zeit (wie beim analogen zweidimensionalen Bild). Die Ortsverteilung des Elektrons bleibt konstant, der (unbeobachtbare) Phasenwinkel rotiert (mit konstanter Geschwindigkeit).

Bemerkung

Die senkrechte Richtung ist hier immer als Symmetrieachse ausgezeichnet. Das ist allerdings völlig willkürlich. Wichtig ist nur, dass die Systematik der Schwingungsformen soviele verschiedene Formen erfaßt, dass daraus durch Überlagerung alle anderen möglichen Schwingunsformen erzeugt werden können. Dann ist die Systematik "vollständig".


Quantenzahlen

Video: Stationäre räumliche Welle um ein Kraftzentrum.

So wie eine schwingende Saite nur ganz bestimmte stationäre Schwingungsmuster hat, so sind auch in der Umgebung des Atomkerns nur ganz bestimmte Schwingungsmuster möglich. Die stationären Schwingungsmuster der elektronischen Wellenfunktion werden durch sogenannte Quantenzahlen klassifiziert.

1. Die Hauptquantenzahl N

Bereich: N = 1, 2, 3, 4, ...
Jeder stationäre Schwingungszustand hat eine ganz bestimmte Energie. Die Energie kann also nicht jeden beliebigen Wert annehmen (man sagt daher, die Energie ist quantisiert). Die Hauptquantenzahl N nummeriert die Energien des Elektrons in den stationären Zuständen durch. N=1 bezeichnet den sogenannten Grundzustand. Im Grundzustand hat das Elektron die geringst mögliche Energie. Je größer N, desto größer die Energie des Zustandes. Die Formel für die möglichen Energiewerte der stationären Zustände lautet:
EN = E1/N2
und die Energie E1 des Grundzustandes ist
E1 = - 2,17987 x 10-18 Joule.
Beachte, dass EN negativ ist. Man muss Energie hineinstecken, um das an den Atomkern gebundene Elektron frei zu bekommen. Die Energieskala wird so gewählt, dass ein freies ruhendes Elektron die Energie 0 hat.

2. Die Drehimpulsquantenzahl l

Bereich: l = 0, 1, 2, ..., N-1
Die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl beschreibt den Betrag des Drehimpulses L. Dieser ist ebenfalls quantisiert. Je größer l, desto größer der Drehimpulse. Bei gegebener Energie (Hauptquantenzahl N) gibt es nur N verschiedene Werte für den Betrag des Drehimpulses, diese erhält man aus der Formel
L2 = ħ2 l (l+1), wobei l = 0, 1, ... , N-1.

3. Die magnetische Quantenzahl m

Bereich: m = -l, -l+1, -l+2, ... , -1, 0, 1, ... , l-1, l
Die magnetische Quantenzahl beschreibt die Komponente des Drehimpulses um die z-Achse (die Auszeichnung der vertikalen z-Achse ist hierbei willkürlich - jede andere Wahl der z-Achse führt auf eine äquivalente quantenmechanische Beschreibung). Zu einem gegebenen Wert des Drehimpulses gibt es genau 2l+1 Zustände mit verschiedenen Werten des Drehimpulses um die z-Achse:
Lz = ħ m, wobei m = -l, -l+1, ... , l-1, l.

Übungsaufgaben

Übung:
Wieviele stationäre Schwingungszustände gibt es im Wasserstoffatom bei der Energie EN?

Lösung:
Zu gegebenem N gibt es Schwingungszustände mit N verschiedenen Quantenzahlen l = 0, 1, ... , N-1. Zu jedem l gibt es Zustände mit 2l+1 verschiedenen Quantenzahlen m. Insgesamt also
1 + 3 + 5 + ... + 2N-1
Die Summe der ersten N ungeraden Zahlen ist aber gerade N2. Genausoviele verschiedene stationäre Schwingungszustände des Elektrons gibt es.
Anmerkung: Unter Berücksichtigung des Spins des Elektrons verdoppelt sich diese Anzahl noch, denn jeder Schwingungszustand kann mit zwei verschiedenen Werten des Spins vorkommen. Der Spin ist der Eigendrehimpuls des Elektrons. Im Wasserstoffatom spielt der Spin aber nur in der Gegenwart von starken Magnetfeldern oder bei Berücksichtigung relativistischer Effekte eine Rolle.


Die magnetische Quantenzahl m
Abbildung 10: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den
                           magnetischen Quantenzahlen m=0

Abbildung 10: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=0

Abbildung 11: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den
                           magnetischen Quantenzahlen m=1

Abbildung 11: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=1

Abbildung 12: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den
                           magnetischen Quantenzahlen m=2

Abbildung 12: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=2

Abbildung 13: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den
                           magnetischen Quantenzahlen m=3

Abbildung 13: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=3

Abbildung 14: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den
                           magnetischen Quantenzahlen m=4

Abbildung 14: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=4

Abbildung 15: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den
                           magnetischen Quantenzahlen m=5

Abbildung 15: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=5

Abbildung 16: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den
                           magnetischen Quantenzahlen m=6

Abbildung 16: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=6

Hier zeigen wir einige der vielfältigen stationären Wellenfunktionen, die die verschiedenen möglichen Zustände eines Elektrons im Wasserstoffatom beschreiben. Die Visualisierung kombiniert eine Isofläche des Betrags, um die dreidimensionale Form anzudeuten, mit einer (transparenten) Querschnittfläche, die den unscharfen Verlauf der Intensität anzeigt. Auf dieser Querschnittfläche ist die Lage der Nullstellen gut erkennbar.
Alle diese Zustände beschreiben ein Elektron mit derselben Energie, aber unterschiedlichen Drehimpulsen um die z-Achse. Die Wellenfunktion im ersten Bild hat ihre größte Amplitude nahe bei der z-Achse. Diese "stangenförmige" Ortsverteilung hat den geringsten Drehimpuls um die z-Achse. Das letzte Bild zeigt eine flach ausgebreitete, "scheibenförmige" Ortsverteilung. Diese hat den größten Drehimpuls um die z-Achse.
Zwischen diesen beiden Extremen gibt es nur die gezeigten Möglichkeiten für stationäre Wellenfunktionen. Man sagt, der Drehimpuls um die z-Achse ist quantisiert. Man beschreibt das durch die Quantenzahl m, die die obigen Bilder durchnummeriert. Bei der gezeigten Energie kann der Drehimpuls um die z-Achse nur die Quantenzahlen
m=-6,-5, -4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
haben. Positive Quantenzahlen entsprechen, von oben betrachtet, einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Negative Quantenzahlen m entsprechen einer Drehung im Uhrzeigersinn. Die Wellenfunktionen zu negativen Werten von m schauen im Prinzip gleich aus, nur ist die Anordnung der Farben genau umgekehrt.
Die Quantenzahl m misst auch die Anzahl der Wellenlängen, die auf jedem Ring Platz haben. Man kann also |m| zum Beispiel aus der Anzahl der roten Stellen auf jedem Ring ablesen. Beachte, dass die Wellenfunktion zu m=0 hier eine Ausnahme ist.


Einige Wellenfunktionen und deren Quantenzahlen
Abbildung 17: N=1, l=0, m=0. Der Zustand mit der niedrigst-möglichen
                           Energie ist sphärisch symmetrisch. Die Wellenfunktion ist strenggenommen
                           überall ungleich Null, fällt aber nach außen hin rasch ab, sodass die
                           Wahrscheinlichkeit, das Elektron weit weg vom Atomkern zu finden, extrem
                           klein ist.

Abbildung 17: N=1, l=0, m=0. Der Zustand mit der niedrigst-möglichen Energie ist sphärisch symmetrisch. Die Wellenfunktion ist strenggenommen überall ungleich Null, fällt aber nach außen hin rasch ab, sodass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron weit weg vom Atomkern zu finden, extrem klein ist.

Abbildung 18: N=2, l=0, m=0. Es gibt insgesamt 4 Zustände zu dieser
                           Energie. Diese unterscheiden sich durch die Drehimpuls-Quantenzahlen l
                           und m. Der Zustand mit l=0 ist wieder sphärisch symmetrisch. Die
                           Wellenfunktion ist Null auf einer Kugelschale um den Atomkern. Diese
                           Kugelschale sitzt zwischen dem roten=positiven und dem
                           blaugrünen=negativen Teil der Wellenfunktion. Sie ist ein stationärer
                           "Schwingungsknoten" für diese stehende Welle.

Abbildung 18: N=2, l=0, m=0. Es gibt insgesamt 4 Zustände zu dieser Energie. Diese unterscheiden sich durch die Drehimpuls-Quantenzahlen l und m. Der Zustand mit l=0 ist wieder sphärisch symmetrisch. Die Wellenfunktion ist Null auf einer Kugelschale um den Atomkern. Diese Kugelschale sitzt zwischen dem roten=positiven und dem blaugrünen=negativen Teil der Wellenfunktion. Sie ist ein stationärer "Schwingungsknoten" für diese stehende Welle.

Abbildung 19: N=2, l=1, m=1 und m=-1. Ringförmige
                           Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beim Zustand mit m=-1 erscheinen die
                           Farben entlang der Ringe in umgekehrter Reihenfolge. Die Wellenfunktion
                           ist Null entlang der z-Achse.

Abbildung 19: N=2, l=1, m=1 und m=-1. Ringförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beim Zustand mit m=-1 erscheinen die Farben entlang der Ringe in umgekehrter Reihenfolge. Die Wellenfunktion ist Null entlang der z-Achse.

Abbildung 20: N=2, l=1, m=0. Hantelförmige
                           Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zustände mit m=0 haben immer
                           Rotationssymmetrie um die vertikale z-Achse. Hier bildet die horizontale
                           xy-Ebene einen stationären "Schwingungsknoten". Dort ist die
                           Wellenfunktion Null.

Abbildung 20: N=2, l=1, m=0. Hantelförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zustände mit m=0 haben immer Rotationssymmetrie um die vertikale z-Achse. Hier bildet die horizontale xy-Ebene einen stationären "Schwingungsknoten". Dort ist die Wellenfunktion Null.

Die Bilder oben sind Momentaufnahmen der Wellenfunktion. Die zeitliche Abhängigkeit ist aber sehr einfach. Die räumliche Verteilung des Betrages der Wellenfunktion bleibt zeitlich konstant. Daher bleibt auch die Ortsverteilung des Elektrons stationär. Das einzige, was sich ändert, sind die Farben. Alle Farben wandern zeitlich periodisch durch den Farbkreis. An jedem Punkt des Raumes rotiert der Phasenwinkel der Wellenfunktion mit konstanter Geschwindigkeit.

Zusammenfassung

Jeder der obigen Zustände ist somit eine "stehende Welle", eine "stationäre Schwingung" der Wellenfunktion (die durch Betrag und Phasenwinkel gegeben ist). Dabei bleibt der Betrag der Wellengröße, der die Ortsverteilung beschreibt, immer konstant, nur der Phasenwinkel ändert sich periodisch.


Übergänge zwischen Zuständen 1

Video: Übergang zwischen den Zuständen mit den Quantenzahlen N=3, l=1, m=0 und N=4, l=2, m=0

Durch Anregung über ein elektrisches Wechselfeld (Bestrahlung mit Laserlicht), kann ein Elektron durch Absorption eines Photons von einem Zustand niedrigerer Energie in einen Zustand höherer Energie (einen sog. angeregten Zustand) übergehen. Durch Aussenden eines Photons kann das Elektron wieder in Zustände mit niedrigerer Energie übergehen.
Normalerweise (bei Zimmertemperatur) befinden sich Wasserstoffatome im Grundzustand. Wenn ein Gas aus Wasserstoffatomen jedoch aufgeheizt wird (Sonnenatmosphäre) oder elektrischen Entladungen ausgesetzt wird (Gasentladungslampe), finden sich die Atome immer wieder in angeregten Zuständen und emittieren immer wieder Photonen. Das Gas leuchtet dann. Die Frequenzen des emittierten Lichtes entsprechen den Energiedifferenzen der Zustände, zwischen denen die Übergänge stattfinden.
Der obige Film zeigt den Übergang zwischen Zuständen mit Hauptquantenzahlen N=3 und N=4. Das Energie zuführende oder wegtragende Photon ist nicht gezeigt. In diesem Beispiel hat das Photon vertikale Polarisation und wird bevorzugt in horizontale Richtung emittiert (bzw. trifft aus horizontaler Richtung ein). Der Drehimpuls des Zustandes ändert sich um ein Drehimpulsquantum (also um den Wert ħ). Dieser Drehimpuls wird vom Photon angeliefert bzw. abtransportiert; Photonen sind Elementarteilchen mit "Spin 1", dh. ihr Drehimpuls hat den Wert ħ.


Übergänge zwischen Zuständen 2

Video: Übergang zwischen den Zuständen mit den Quantenzahlen N=3, l=1, m=0 und N=4, l=2, m=1

Dieser Film zeigt wieder den Übergang zwischen Zuständen mit den Hauptquantenzahlen N=3 und N=4. Das Energie zuführende oder wegtragende Photon ist nicht gezeigt. In diesem Beispiel hat das Photon zirkulare Polarisation und wird bevorzugt in vertikale Richtung emittiert (bzw. trifft aus vertikaler Richtung ein). Der Drehimpuls des Zustandes ändert sich um ein Drehimpulsquantum. (Dieser Drehimpuls wird vom Photon angeliefert bzw. abtransportiert; Photonen sind Elementarteilchen mit "Spin 1", dh. ihr Drehimpuls hat den Wert ħ). Die vertikale Komponente des Drehimpulses (also die magnetische Quantenzahl m) ändert sich beim Übergang.