Das Wasserstoffatom
- Einleitung
- Kraft, Umlaufbahn, stehende Welle
- Stehende Wellen im Atom
Einleitung
Physik des Wasserstoffatoms - Einleitung
Abbildung 1. Antiquiertes Bild vom Atom: Elektronen, die um den Atomkern kreisen.
Abbildung 2. Modernes Bild vom Wasserstoffatom: Dreidimensionale, stationäre Schwingung einer Wellenfunktion.
Aufbau der Atome
Die Quantenmechanik konnte in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts
die Physik des Atomaufbaus vollständig erklären. Schon zu Beginn dieses
Jahrhunderts war bekannt, dass Atome aus einem positiv geladenen
Atomkern bestehen, der (im Vergleich zu den Abmessungen des
Atoms) sehr klein ist. Durch die Anziehungskraft dieses Atomkerns werden ein
oder mehrere Elektronen an ihn gebunden. Sie können sich also nicht frei
durch den Raum bewegen, sondern müssen sich immer in der Nähe des Atomkerns
aufhalten.
Der Atomkern besteht aus Protonen und
Neutronen. Protonen sind positiv geladene Elementarteilchen,
Neutronen sind neutral. Der Atomkern wird durch die sogenannte
Kernkraft zusammengehalten, eine Kraft, die nicht
elektromagnetischen Ursprungs ist. Die Physik des Atomkerns nennt man auch
Kernphysik.
Den Bereich eines Atoms, in dem sich die
Elektronen aufhalten, nennt man die Hülle. Ein Atom ist nach
außen hin neutral, wenn es in der Hülle gleich viele Elektronen enthält, wie
Protonen in seinem Kern. Ein Atom wird zu einem positiv geladenen
Ion, wenn es ein oder mehrere seiner Elektronen verliert.
Ein negativ geladenes Ion hat ein oder mehrere überschüssige Elektronen.
Das Wasserstoffatom
Hier werden wir uns nur mit der Quantenmechanik des
Wasserstoffatoms befassen. Es ist das einfachste aller
Atome. Sein Atomkern besteht nur aus einem einzigen Proton. Die Hülle wird
von einem einzigen Elektron gebildet. Dieses negativ geladene Elektron wird
durch die Coulombkraft des positiv geladenen Protons gebunden. Das Proton
ist winzig im Vergleich zur Ausdehnung der Elektronenhülle. Das Proton wird
durch die Anwesenheit eines Elektronen in seiner Bewegung und seinem
Verhalten kaum gestört, da es ca. 1800 mal schwerer als ein Elektron ist.
Wir werden daher - zur Vereinfachung - das Proton als ein feststehendes,
punktförmiges Kraftzentrum behandeln, das im Koordinatenursprung
ruht.
Wenn ein Elektron durch die Anziehungskraft des Protons an den
Atomkern gefesselt ist (sich also zu allen Zeiten in der Nähe des Atomkerns
aufhält), dann spricht man von einem "Bindungszustand" des
Elektrons. Die möglichen Bindungszustände des Elektrons werden wir mit Hilfe
von Wellenfunktionen beschreiben. Ganz speziell werden wir uns für mögliche
stationäre Schwingungen (=stehende Wellen) der Elektron-Wellenfunktion
interessieren. Zu jeder stationären Schwingung gehört eine bestimmte
Energie, die mit der Frequenz dieser Schwingung zusammenhängt. In der
Atomphysik (wie auch in der klassischen Physik) werden die Energien der
Bindungszustände negativ gerechnet: Ein freies, ruhendes Teilchen hat die
Energie Null, ein in einem anziehenden Kraftfeld gebundenes Teilchen hat
demgegenüber eine geringere Energie (man muss ja Energie hineinstecken, um
es aus dem Kraftfeld zu lösen). Die stationäre Schwingung mit der geringsten
Energie heißt Grundzustand.
Wie groß sind Atome?
Die genaue Größe eines Atoms kann man nicht angeben, da die Wellenfunktion
kontinuierlich nach außen hin abnimmt und damit einfach die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons mit zunehmender Entfernung vom
Atomkern kleiner wird. Die typische Größe eines Wasserstoffatoms wird durch
seinen "Bohr-Radius" beschrieben (Niels Bohr, 1885-1962). Der
Bohr-Radius ist der durchschnittliche Abstand zwischen Elektron und Proton
im Zustand mit der geringsten Energie. Ein Bohr-Radius ist
ungefähr 5 mal 10-11m. Er dient oft als
Längeneinheit in der Atomphysik. Ein Proton ist mit einer typischen Größe
von 10-15m dagegen winzig klein.
Die Größe
eines Wasserstoffatoms hängt aber auch ganz wesentlich davon ab, was für
eine Schwingung die Wellenfunktion vollführt. Je höher die Energie der
Schwingung, desto größer ist die durchschnittliche Entfernung des Elektrons
vom Atomkern. Der in der Abbildung 2 gezeigte Raumbereich hat immerhin einen
Durchmesser von ungefähr 600 Bohr-Radien.
Kraft, Umlaufbahn, stehende Welle
Wellenpaket in einer Umlaufbahn
Video: Wellenpaket in einer Umlaufbahn um ein Proton: Blick von oben auf die Bahnebene. Es ist T0 = 1,5 x 10-10 Sekunden. Die Längeneinheit der Koordinatenachsen ist 1000 Bohr-Radien. Der Bahndurchmesser ist ungefähr ein Millionstel Meter.
Ein Elektron umkreist den Atomkern
Der Film zeigt die Wellenfunktion eines Elektrons, das durch ein anziehendes
Kraftzentrum in eine Umlaufbahn ("Orbit") gezwungen wird. Während der
Bewegung zerfließt das anfänglich noch einigermaßen lokalisierte Wellenpaket
und verteilt sich bald über den ganzen Orbit, wobei es annähernd ringförmige
Gestalt annimmt.
Das Kraftzentrum, das sich in der Mitte im
Koordinatenursprung befindet, könnte durch ein (annähernd) ruhendes Proton
gebildet werden. Das Proton ist positiv geladen und übt daher eine
anziehende Kraft (Coulombkraft) auf das negativ geladene Elektron aus. Da
das Proton ca 1800 mal schwerer ist, als das Elektron, wird seine Bewegung
durch das Elektron so gut wie gar nicht gestört. Ganz ähnlich, wie die
Bewegung der Sonne durch die sie umkreisenden Planeten kaum gestört
wird.
Der Film zeigt also eigentlich ein Wasserstoffatom. Dieses
einfachste aller Atome wird nämlich durch ein Proton als Atomkern und ein
einziges daran gebundenes Elektron gebildet. Allerdings ist das hier
gezeigte Gebilde für ein Atom ungewöhnlich groß.
Einheiten und Größenordnungen
Die Zeiteinheit (T0) in der Beschriftung des Films ist gerade jene Zeit, die
ein entsprechendes klassisches, punktförmiges Teilchen gemäß der klassischen
Mechanik brauchen würde, um das Kraftzentrum einmal zu umrunden. Für dieses
Beispiel beträgt diese Zeit etwa 1,5 mal 10-10
Sekunden. Das ist auch ungefähr die Zeit, die das quantenmechanische
Wellenpaket dafür braucht, solange es noch einigermaßen lokalisiert
ist.
Die Längeneinheit der Koordinatenachsen ist 1000 Bohr-Radien (1
Bohr-Radius ist ungefähr 5 mal 10-11m). Der Bahnradius beträgt hier also ungefähr 10000 Bohr-Radien,
das sind ungefähr 5 mal 10-7m = 500 Nanometer.
Am alltäglichen Maßstab gemessen zeigt der Film also ein winzig kleines
Gebilde.
Dennoch befindet sich das Elektron hier in ungewöhnlich großer
Entfernung vom Atomkern. Der Radius eines "normalen" Wasserstoffatoms ist in
der Größenordnung von nur einem Bohr-Radius. Atome, in denen die Elektronen
vergleichsweise riesige Bahnradien haben, nennt man
Rydberg-Atome.
Rydberg-Atome sind in einem gewissen
Sinne "nahe" an der klassischen Physik. Zumindest für eine gewisse Zeit
bewegt sich das Elektron noch so, wie man es von der klassischen Physik her
erwarten würde - es umkreist den Atomkern. Erst nach einiger Zeit, wenn sich
die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auf die ganze Umlaufbahn verteilt und
Interferenzen auftreten, bestimmen quantenmechanische Gesetze die
Bewegung.
Perfekte Kreisbewegung - Ringförmiges Wellenpaket
Video: Ringförmiges Wellenpaket - Exakt kreisförmige Umlaufbahn: Großer Bahnradius (Die Längeneinheit in der Achsenbeschriftung ist der Bohr-Radius rBohr = 5.29177 × 10−11 m)
Video: Ringförmiges Wellenpaket - Exakt kreisförmige Umlaufbahn: Mittlerer Bahnradius (Die Längeneinheit in der Achsenbeschriftung ist der Bohr-Radius rBohr = 5.29177 × 10−11 m)
Video: Ringförmiges Wellenpaket - Exakt kreisförmige Umlaufbahn: Kleiner Bahnradius
Der Film zeigt das perfekte quantenmechanische Analogon zur exakten klassischen
Kreisbewegung um ein Kraftzentrum. Man kann sich diese Wellenfunktion wie eine
zu einem Kreisring zusammengebogene ebene Welle vorstellen. Der Betrag der
Wellenfunktion ist entlang eines jeden Kreises um das Zentrum konstant. Der Ort
des Teilchens (seine Aufenthaltswahrscheinlichkeit) ist also offenbar
gleichmäßig über die ganze Bahn verschmiert. Das heißt, dass die
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in irgendeinem Abschnitt dieser Kreisbahn zu
finden, für alle gleich langen Bahnabschnitte gleich groß ist.
So wie bei
einer ebenen Welle gilt auch bei dieser Wellenfunktion: die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit ändert sich mit der Zeit überhaupt nicht. Man
nennt einen Zustand des Elektrons, bei dem sich die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit zeitlich nicht ändert, einen stationären
Zustand. Bei einem stationären Zustand hängt der Betrag der
Wellenfunktion nicht von der Zeit ab. Wie bei der ebenen Welle steckt die
Zeitäbhängigkeit zur Gänze in der Phase der Wellenfunktion, die durch die Farbe
visualisiert wird.
Die Position des Atomkerns (des Protons) ist hier durch
den Punkt im Zentrum markiert. Tatsächlich ist das Proton viel zu klein, um
hier abgebildet werden zu können.
Stationäre Zustände mit perfekt
ringförmiger Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt es viele. Man
kann sie danach klassifizieren, wieviele Wellenlängen entlang des Rings Platz
haben (das sieht man zum Beispiel an der Anzahl m der roten Streifen).
Hier
zeigen wir ringförmige Wellen mit m=59, m=7, und m = 1.
Je kleiner der
Bahnradius, desto niedriger ist auch die Energie des Wellenpakets.
Kreisbewegung mit radialen Schwingungsknoten
Video: Im Kreis bewegtes Wellenpaket mit radialen Knoten (Nullstellen)
Die stationären Zustände in einem Wasserstoffatom können auch stationäre
"Schwingungsknoten" haben. An einem solchen Schwingungsknoten ist die
Wellenfunktion für alle Zeiten Null. Die Wellenfunktion im hier gezeigten Film
hat sogenannte radiale Knoten. Das bedeutet, dass in gewissen Abständen vom
Atomkern (also bei gewissen Radien) die Wellenfunktion Null ist. Hier sieht man
diese Nullstellen als konzentrische schwarze Kreise. Da es sich eigentlich um
einen Querschnitt durch eine dreidimensionale Wellenfunktion handelt, sind
diese radialen Knoten eigentlich Kugelflächen. Man spricht daher auch von
Knotenflächen. Die Anzahl dieser radialen Schwingungsknoten ist
mit ein Maß für die Energie der Welle. Ebenso ist die Anzahl m der Wellenlängen
entlang eines der farbigen Ringe um das Zentrum (also zB. die Anzahl m der
roten Stellen auf jedem Ring) ein Maß für die Energie. Bei der hier gezeigten
Welle ist m=3.
Man beachte: Obwohl die Wellenfunktion aus mehreren räumlich
nichtzusammenhängenden Teilen (den einzelnen Ringen) besteht, handelt es sich
hier dennoch um die Wellenfunktion eines einzelnen Elektrons. Wenn sich das
Elektron im hier gezeigten Zustand befindet, dann findet man es bei einer
Ortsmessung irgendwo innerhalb einer der ringförmigen Zonen, mit größter
Wahrscheinlichkeit, dort, wo die Wellenfunktion einen großen Betrag hat. Auf
einer Knotenfläche hingegen ist das Elektron niemals zu finden und auch die
Umgebungen der Knotenflächen sind Orte von sehr geringer
Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Stehende Welle als Überlagerung gegenläufiger Kreiswellen
Video: Überlagerung gegenläufiger Kreiswellen
Wenn man zwei Wellenfunktionen, die den Atomkern in entgegengesetzter Richtung
umrunden, überlagert, erhält man eine stehende Welle. Dieser Vorgang ist ganz
analog wie die Bildung stehender Wellen aus geradeaus laufenden ebenen
Wellen.
Hier entsteht aus zwei gegenläufigen Wellen eine stationäre
Schwingung. Alle hier gezeigten Zustände sind sogenannte stationäre
Zustände, weil sich ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht ändert,
sondern zeitlich konstant ("stationär") bleibt. Nur die Farben (also der nicht
direkt beobachtbare Phasenwinkel) ändern sich periodisch mit der Zeit.
In
der stationären Schwingung (Wellenfunktion ganz rechts) werden Drehbewegungen
in beide Richtungen mit gleicher Wellenamplitude überlagert. Misst man an einem
so beschriebenen Elektron den Drehimpuls, findet man mit gleicher
Wahrscheinlichkeit (50%) einen positiven oder einen negativen Wert. (Genauer:
Es ist der Drehimpuls um die z-Achse gemeint, die hier senkrecht zur Bildebene
ist)
Die erste der beiden zur Überlagerung kommenden Wellen entspricht einer Teilchenbewegung entgegen dem Uhrzeigersinn (positiver Drehimpuls um die z-Achse), obwohl die Phasenfarben sich im Uhrzeigersinn drehen. Die zweite Welle beschreibt eine Bewegung im Uhrzeigersinn (negativer Drehimpuls). Die Bewegung der Phasenfarben ist hier der tatsächlichen Bewegung entgegengesetzt, weil das gebundene Elektron eine negative Gesamtenergie hat. Ein Charakteristikum für Wellenfunktionen mit negativer Energie ist, dass die Phasengeschwindigkeit entgegengesetzt zum Impuls (also zur Geschwindigkeit) des Teilchens ist (die Abfolge der Farben rot-gelb-grün etc. definiert übrigens die Impulsrichtung - bei der ersten Wellenfunktion ist das entgegen dem Uhrzeigersinn, bei der zweiten in der Mitte im Uhrzeigersinn).
Größenvergleich der Wellenfunktionen, Grundzustand
Diese Bilder zeigen wieder, von oben betrachtet, Wellenfunktionen, die sich mit einer bestimmten Anzahl von Wellenlängen bzw. Schwingungsknoten, um den (hier unsichtbaren) Atomkern herum gelegt haben. Alle Bilder haben den selben Abbildungsmaßstab, damit ein Größenvergleich möglich ist. Alle gezeigten Wellenfunktionen beschreiben stationäre Zustände: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit bleibt zeitlich konstant.
Links: Ringförmige Wellenfunktionen.
Rechts: Stationäre Schwingung, die
durch Überlagerung der ringförmigen Wellenfunktion links und einer mit
gegenläufiger Phase gebildet wird.
Die eingezeichneten Konturlinien
markieren die Bereiche mit der größten
Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Wir sehen: Je weniger Wellenlängen (oder Schwingungsbäuche) um den Atomkern
herum arrangiert sind, desto geringer ist der durchschnittliche Abstand des
Elektrons vom Atomkern.
Die unterste Bildzeile in Abb.1 zeigt eine
Wellenfunktion, bei der nur mehr eine einzige Wellenlänge vorhanden ist. Ist
das der Zustand, bei dem das Elektron dem Atomkern am nächsten
ist?
Nein!
Tatsächlich gibt es einen Zustand ganz in der Nähe des
Kernes. Er hat gar keine Schwingungsknoten und ist völlig kugelsymmetrisch.
Hier sind Bilder davon:
Links: Abbildung im Maßstab der Bilder oben.
Rechts: Vergrößerte
Abbildung. Die strichlierte Linie zeigt den sog. Bohr-Radius.
Der Zustand ohne Schwingungsknoten heißt der Grundzustand. Von
allen Zuständen hat der Grundzustand die geringste Energie.
Die
Wellenfunktion des Grundzustands kommt nicht durch eine Überlagerung von
entgegengesetzt umlaufenden Wellen zustande. Ein Elektron, das durch diese
Wellenfunktion beschrieben wird, vollführt keinerlei Kreisbewegung. Der
Drehimpuls dieser Wellenfunktion ist Null.
Im Grundzustand hat das Elektron
von allen Zuständen den geringsten mittleren Abstand vom Atomkern. Der mittlere
Abstand des Elektrons vom Atomkern im Grundzustand ist der sogenannte
Bohr-Radius (Niels Bohr, 1885-1962). Er ist in Abb.2 links als
strichlierte Kreislinie markiert. Der Bohr-Radius wird in der Atomphysik oft
als Längeneinheit verwendet. In internationalen Einheiten ist
rBohr = 5.29177 × 10−11
m
Stationäre Schwingungsmuster (stehende Wellen)
Video: Stehende Wellen um ein punktförmiges Kraftzentrum (Atomkern, kleiner weißer Punkt in der Mitte). Die Abbildungen sind Querschnitte durch dreidimensionale Wellenfunktionen.
Ein quantenmechanisches Wellenpaket wird durch die Anziehungskraft des
Atomkerns gezwungen, sich immer in dessen Nähe aufzuhalten. Hier können sich
nun räumliche, stehende Wellen ausbilden. Stehende Wellen sind feststehende
Schwingungsmuster. Dabei arrangieren sich Schwingungsbäuche und
Schwingungsknoten in einem räumlichen Muster um den Atomkern. Viele
unterschiedliche Schwingungsformen sind möglich, die Abbildung zeigt nur einige
wenige. Die möglichen Schwingungsformen werden durch sogenannte Quantenzahlen
beschrieben.
Die zweidimensionalen Abbildungen sind eigentlich Querschnitte
von dreidimensionalen Wellenfunktionen.
Stehende Wellen im Atom
Visualisierung von Wellenpaketen in drei Dimensionen
Abbildung 5: Querschnitt durch eine dreidimensionale Wellenfunktion. Konturlinien (Isolinien).
Abbildung 6: Isoflächen visualisieren die dreidimensionale Struktur der Wellenfunktion
In drei Raumdimensionen ist es nicht mehr möglich, alle Eigenschaften einer
farbwertigen Wellenfunktion in einem Bild festzuhalten. Jede Visualisierung ist
ein Kompromiss aus Vollständigkeit und Anschaulichkeit.
Abbildung
5 zeigt einen Querschnitt durch die an sich dreidimensionale
Funktion. Die komplementären Farben rot bzw. blaugrün deuten an, dass in den
entsprechenden Bereichen die zweidimensionale Wellengröße in entgegengesetzte
Richtungen zeigt. Die Isolinien (auch Konturlinien, Höhenlinien)
verdeutlichen den Verlauf der Intensität der Wellenfunktion. Entlang so einer
Linie ist der Betrag der Wellenfunktion konstant.
Beispiele für Isolinien
(Linien, entlang derer eine bestimmte Größe einen konstanten Wert hat) finden
sich auch in vielen anderen Bereichen:
- Höhenschichtenlinien (Isohypsen), die die Orte mit einer konstanten Höhe über dem Meeresspiegel auf einer Landkarte angeben,
- Isobaren, die Linien konstanten Luftdrucks auf einer Wetterkarte,
- Isothermen, die Orte mit einem bestimmten Wert der Lufttemperatur auf einer Wetterkarte verbinden.
Abbildung 6 zeigt die dreidimensionale Gestalt der Wellenfunktion.
Die ringförmigen Flächen sind Isoflächen der Intensität. Diese
Isoflächen entsprechen den Isolinien der zweidimensionalen Abbildung. Überall
auf der Isofläche hat die Wellenfunktion einen konstanten Betrag (also eine
konstante Intensität). Der Phasenwinkel wird wie üblich durch die Farbe
gekennzeichnet.
ie Isoflächen beschreiben zwei verschiedene Werte des
Betrages. Die nicht transparente Fläche (bestehend aus mehreren Ringen) gehört
zu einem großen Betragswert. Die transparente, größere Fläche, gehört zu einem
kleineren Betragswert. Sie umschließt die erste Fläche vollständig, und musste
aus diesem Grund durchsichtig dargestellt werden.
Um auch in der
dreidimensionalen Abbildung den Eindruck einer scharfen Grenze der
Wellenfunktion zu vermeiden, haben wir noch eine transparente Querschnittfläche
hinzugefügt, die den sanft nach außen hin abfallenden Verlauf der
Wellenfunktion darstellt.
Vergleich von Visualisierungsmethoden
Video: Visualisierung einer räumlichen Wellenfunktion durch eine Isofläche
Video: Visualisierung einer räumlichen Wellenfunktion auf einer vertikalen Schnittebene. Hier lassen wir eine Querschnittsfläche, auf der die Wellenfunktion durch eine farbige Dichtegrafik dargestellt ist, durch den Raum wandern. Dadurch können wir deutlich machen, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Helligkeit) keine scharfen Grenzen hat, sondern nach außen hin stetig abnimmt. Man kann auch gut die Bereiche erkennen, wo die Wellenfunktion Null ist.
Video: Visualisierung einer räumlichen Wellenfunktion auf einer horizontalen Schnittebene. Hier lassen wir eine horizontale Querschnittsfläche, auf der die Wellenfunktion durch eine farbige Dichtegrafik dargestellt ist, durch den Raum wandern. Die ringförmige Struktur der Wellenfunktion wird dadurch gut sichtbar. Zwischen den Ringen sind die Flächen, auf denen die Wellenfunktion Null ist. Zusammen mit der Darstellung der vertikalen Schnittebene kann man die Form dieser Flächen gut erforschen. Es handelt sich um kugelförmige Flächen, die konzentrisch um den Mittelpunkt des Datenvolumens (Würfel), angeordnet sind, sowie um einen Doppelkegel mit Zentrum ebenfalls im Mittelpunkt des Würfels. Eine Nullstellenline ist die vertikale Achse in der Mitte (die z-Achse).
In drei Raumdimensionen ist es nicht mehr möglich, alle Eigenschaften einer
farbwertigen Wellenfunktion in einem Bild festzuhalten. Jede Visualisierung ist
ein Kompromiss aus Vollständigkeit und Anschaulichkeit.
Wir vergleichen nun
mehrere Visualisierungsmethoden, die es mit Hilfe von Animation erlauben, ein
dreidimensionales Datenvolumen zu untersuchen.
Hier stellen wir eine
sogenannte Isofläche für den Betrag der Wellenfunktion dar. Der
Phasenwinkel wird wie üblich durch die Farbe gekennzeichnet.
Die hier
gezeigte Isofläche ist eine Oberfläche im Raum, auf der der Betrag der
Wellenfunktion überall einen bestimmten Betrag hat. Geht man von der Fläche
nach innen, gelangt man zu höheren Werten des Betrages. Geht man nach außen,
nimmt der Betrag ab. Bewegt man sich auf der Isofläche bleibt der Betrag
konstant.
In der Abbildung oben kann man mit dem Schieberegler den Wert des
Betrages einstellen, der durch die Isofläche angezeigt wird. Kleine Werte sind
links (große Figur, da der Betrag Wellenfunktion nach außen hin abnimmt), große
rechts (kleine Figur, nahe dem Atomkern positioniert, da dort die
Wellenfunktion den größten Betrag hat).
Für die gezeigte Wellenfunktion ist
also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit am größten innerhalb der Ringe.
Außerhalb der Ringe ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit sehr klein. Zwischen
den Ringen gibt es sogar Flächen, auf denen die Wellenfunktion exakt Null ist.
Dort wird man das Teilchen nie finden.
Schwingungsformen in 3D
Video: Stationäre räumliche Welle um ein Kraftzentrum.
Bei stehenden Wellen im Raum gibt es viele mögliche Schwingungsformen. Die
Schwingungsknoten, also die Gebiete, in denen die Wellenfunktion immer null
ist, sind Flächen und können kugelförmig oder kegelförmig sein, oder eine Ebene
bilden. Man kann die stehenden Wellen danach einteilen, wie viele solche
Knotenflächen vom jeweiligen Typ sie haben.
Die hier gezeigte Welle hat
zwei "radiale Schwingungsknoten", also zwei konzentrische Kugelschalen, auf
denen die Wellenfunktion Null ist. Dazu gibt es noch zwei kegelförmige Flächen,
die einen "Doppelkegel" bilden.
Eigentlich ist das Work "Schwingung" nicht
wirklich angebracht: Die Wellenfunktion oszilliert nicht hin und her. Die
zeitlich periodische Bewegung besteht in der Rotation der zweidimensionalen
Wellengröße, deren Richtung hier durch die Farbe dargestellt ist.
Die senkrechte Richtung ist hier immer als Symmetrieachse ausgezeichnet. Das ist allerdings völlig willkürlich. Wichtig ist nur, dass die Systematik der Schwingungsformen soviele verschiedene Formen erfaßt, dass daraus durch Überlagerung alle anderen Schwingungsformen erzeugt werden können. Dann ist die Systematik "vollständig".
Schwingungsknoten, Knotenflächen
Abbildung 7: Visualisierung einiger Schwingungsknoten bei einer stehenden Welle des Wasserstoffatoms. Der gezeigte Zustand hat zwei kugelförmige und vier kegelförmige Knotenflächen (bzw. zwei Doppelkegel), die hier zur besseren Sichtbarkeit vorne aufgeschnitten wurden.
Die Nullstellenflächen oder Schwingungsknoten der Wellenfunktion charakterisieren den Typ der stehenden Welle (=stationäre Schwingung). Hier sehen wir eine Wellenfunktion, die auf zwei konzentrischen Kugelflächen verschwindet. Außerdem gibt es noch Schwingungsknoten in Form zweier Doppelkegel. Auf diesen grauen Flächen ist die Wellenfunktion immer Null (so wie in einem Schwingungsknoten der schwingenden Saite die Auslenkung immer Null ist). Zwischen den Nullstellenflächen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Null verschieden. Die grobe Form der Ortsverteilung wird durch die eingefärbten, ringförmigen Isoflächen der Wellenfunktion angedeutet.
Systematik stehender Wellen in drei Dimensionen
Abbildung 8: Darstellung von stehenden Wellen in drei Dimensionen.
Bei stehenden Wellen im dreidimensionalen Raum gibt es viele mögliche
Schwingungsformen. Die Abbildung zeigt einige wenige der einfachsten stehenden
Wellen der Wellenfunktion eines Elektrons im anziehenden elektrischen Feld
eines Protons. Sie werden hier durch Flächen visualisiert, um die
dreidimensionale Struktur besser sichtbar zu machen. Auf jeder dieser
"Isoflächen" hat die Wellenfunktion einen konstanten Betrag. Innen ist der
Betrag (und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeit) am größten. Die äußeren,
transparenten Isoflächen gehören zu kleineren Beträgen der
Wellenfunktion.
Die Abbildungen repräsentieren also mögliche (Schwingungs-)
Zustände des Wasserstoffatoms. Die Nullstellenflächen der Wellenfunktion sind
die Schwingungsknoten der stehenden Wellen. Im Fall der hier gezeigten
Wellenfunktionen können die Nullstellenflächen Kugeln, Ebenen, oder Doppelkegel
sein. Bei allen mehrfarbigen Wellenfunktionen ist außerdem die z-Achse eine
Nullstellenlinie. Man kann diese Zustände danach einteilen, wieviele solche
Nullstellenflächen ("Schwingungsknoten") vom jeweiligen Typ sie haben.
Die
Schwingungen sind stationär. Mit der Zeit ändert sich die Form der Gebilde oder
die Lage der Nullstellenflächen nicht. Nur die Farbe ändert sich periodisch mit
der Zeit (wie beim analogen zweidimensionalen
Bild). Die Ortsverteilung des Elektrons bleibt konstant, der
(unbeobachtbare) Phasenwinkel rotiert (mit konstanter Geschwindigkeit).
Die senkrechte Richtung ist hier immer als Symmetrieachse ausgezeichnet. Das ist allerdings völlig willkürlich. Wichtig ist nur, dass die Systematik der Schwingungsformen soviele verschiedene Formen erfaßt, dass daraus durch Überlagerung alle anderen möglichen Schwingunsformen erzeugt werden können. Dann ist die Systematik "vollständig".
Quantenzahlen
Video: Stationäre räumliche Welle um ein Kraftzentrum.
So wie eine schwingende Saite nur ganz bestimmte stationäre Schwingungsmuster hat, so sind auch in der Umgebung des Atomkerns nur ganz bestimmte Schwingungsmuster möglich. Die stationären Schwingungsmuster der elektronischen Wellenfunktion werden durch sogenannte Quantenzahlen klassifiziert.
1. Die Hauptquantenzahl N
Bereich: N = 1, 2, 3, 4, ...
Jeder stationäre
Schwingungszustand hat eine ganz bestimmte Energie. Die Energie kann also
nicht jeden beliebigen Wert annehmen (man sagt daher, die Energie ist
quantisiert). Die Hauptquantenzahl N nummeriert die Energien
des Elektrons in den stationären Zuständen durch. N=1 bezeichnet den
sogenannten Grundzustand. Im Grundzustand hat das Elektron die geringst
mögliche Energie. Je größer N, desto größer die Energie des Zustandes. Die
Formel für die möglichen Energiewerte der stationären Zustände lautet:
EN = E1/N2
und die Energie
E1 des Grundzustandes ist
E1 = - 2,17987 x 10-18 Joule.
Beachte, dass EN negativ ist. Man muss Energie hineinstecken, um das an den
Atomkern gebundene Elektron frei zu bekommen. Die Energieskala wird so
gewählt, dass ein freies ruhendes Elektron die Energie 0 hat.
2. Die Drehimpulsquantenzahl l
Bereich: l = 0, 1, 2, ..., N-1
Die Nebenquantenzahl oder
Drehimpulsquantenzahl beschreibt den Betrag des Drehimpulses L.
Dieser ist ebenfalls quantisiert. Je größer l, desto größer der Drehimpulse.
Bei gegebener Energie (Hauptquantenzahl N) gibt es nur N verschiedene Werte
für den Betrag des Drehimpulses, diese erhält man aus der Formel
L2 = ħ2 l
(l+1), wobei l = 0, 1, ... , N-1.
3. Die magnetische Quantenzahl m
Bereich: m = -l, -l+1, -l+2, ... , -1, 0, 1, ... , l-1,
l
Die magnetische Quantenzahl beschreibt die Komponente des Drehimpulses
um die z-Achse (die Auszeichnung der vertikalen z-Achse ist hierbei
willkürlich - jede andere Wahl der z-Achse führt auf eine äquivalente
quantenmechanische Beschreibung). Zu einem gegebenen Wert des Drehimpulses
gibt es genau 2l+1 Zustände mit verschiedenen Werten des Drehimpulses um die
z-Achse:
Lz = ħ m, wobei m = -l, -l+1,
... , l-1, l.
Übungsaufgaben
Übung:
Wieviele stationäre Schwingungszustände gibt es im Wasserstoffatom bei der
Energie EN?
Lösung:
Zu gegebenem N gibt es Schwingungszustände mit N verschiedenen Quantenzahlen
l = 0, 1, ... , N-1. Zu jedem l gibt es Zustände mit 2l+1 verschiedenen
Quantenzahlen m. Insgesamt also
1 + 3 + 5 + ... + 2N-1
Die Summe der
ersten N ungeraden Zahlen ist aber gerade N2.
Genausoviele verschiedene stationäre Schwingungszustände des Elektrons gibt
es.
Anmerkung: Unter Berücksichtigung des Spins des Elektrons
verdoppelt sich diese Anzahl noch, denn jeder Schwingungszustand kann mit
zwei verschiedenen Werten des Spins vorkommen. Der Spin ist der
Eigendrehimpuls des Elektrons. Im Wasserstoffatom spielt der Spin aber nur
in der Gegenwart von starken Magnetfeldern oder bei Berücksichtigung
relativistischer Effekte eine Rolle.
Die magnetische Quantenzahl m
Abbildung 10: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=0
Abbildung 11: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=1
Abbildung 12: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=2
Abbildung 13: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=3
Abbildung 14: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=4
Abbildung 15: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=5
Abbildung 16: Stationäre Zustände im Wasserstoffatom mit den magnetischen Quantenzahlen m=6
Hier zeigen wir einige der vielfältigen stationären Wellenfunktionen, die die
verschiedenen möglichen Zustände eines Elektrons im Wasserstoffatom
beschreiben. Die Visualisierung kombiniert eine Isofläche des Betrags, um die
dreidimensionale Form anzudeuten, mit einer (transparenten) Querschnittfläche,
die den unscharfen Verlauf der Intensität anzeigt. Auf dieser Querschnittfläche
ist die Lage der Nullstellen gut erkennbar.
Alle diese Zustände beschreiben
ein Elektron mit derselben Energie, aber unterschiedlichen Drehimpulsen um die
z-Achse. Die Wellenfunktion im ersten Bild hat ihre größte Amplitude nahe bei
der z-Achse. Diese "stangenförmige" Ortsverteilung hat den geringsten
Drehimpuls um die z-Achse. Das letzte Bild zeigt eine flach ausgebreitete,
"scheibenförmige" Ortsverteilung. Diese hat den größten Drehimpuls um die
z-Achse.
Zwischen diesen beiden Extremen gibt es nur die gezeigten
Möglichkeiten für stationäre Wellenfunktionen. Man sagt, der Drehimpuls um die
z-Achse ist quantisiert. Man beschreibt das durch die Quantenzahl m, die die
obigen Bilder durchnummeriert. Bei der gezeigten Energie kann der Drehimpuls um
die z-Achse nur die Quantenzahlen
m=-6,-5, -4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6
haben. Positive Quantenzahlen entsprechen, von oben betrachtet, einer
Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Negative Quantenzahlen m entsprechen einer
Drehung im Uhrzeigersinn. Die Wellenfunktionen zu negativen Werten von m
schauen im Prinzip gleich aus, nur ist die Anordnung der Farben genau
umgekehrt.
Die Quantenzahl m misst auch die Anzahl der Wellenlängen, die
auf jedem Ring Platz haben. Man kann also |m| zum Beispiel aus der Anzahl der
roten Stellen auf jedem Ring ablesen. Beachte, dass die Wellenfunktion zu m=0
hier eine Ausnahme ist.
Einige Wellenfunktionen und deren Quantenzahlen
Abbildung 17: N=1, l=0, m=0. Der Zustand mit der niedrigst-möglichen Energie ist sphärisch symmetrisch. Die Wellenfunktion ist strenggenommen überall ungleich Null, fällt aber nach außen hin rasch ab, sodass die Wahrscheinlichkeit, das Elektron weit weg vom Atomkern zu finden, extrem klein ist.
Abbildung 18: N=2, l=0, m=0. Es gibt insgesamt 4 Zustände zu dieser Energie. Diese unterscheiden sich durch die Drehimpuls-Quantenzahlen l und m. Der Zustand mit l=0 ist wieder sphärisch symmetrisch. Die Wellenfunktion ist Null auf einer Kugelschale um den Atomkern. Diese Kugelschale sitzt zwischen dem roten=positiven und dem blaugrünen=negativen Teil der Wellenfunktion. Sie ist ein stationärer "Schwingungsknoten" für diese stehende Welle.
Abbildung 19: N=2, l=1, m=1 und m=-1. Ringförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Beim Zustand mit m=-1 erscheinen die Farben entlang der Ringe in umgekehrter Reihenfolge. Die Wellenfunktion ist Null entlang der z-Achse.
Abbildung 20: N=2, l=1, m=0. Hantelförmige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Zustände mit m=0 haben immer Rotationssymmetrie um die vertikale z-Achse. Hier bildet die horizontale xy-Ebene einen stationären "Schwingungsknoten". Dort ist die Wellenfunktion Null.
Die Bilder oben sind Momentaufnahmen der Wellenfunktion. Die zeitliche Abhängigkeit ist aber sehr einfach. Die räumliche Verteilung des Betrages der Wellenfunktion bleibt zeitlich konstant. Daher bleibt auch die Ortsverteilung des Elektrons stationär. Das einzige, was sich ändert, sind die Farben. Alle Farben wandern zeitlich periodisch durch den Farbkreis. An jedem Punkt des Raumes rotiert der Phasenwinkel der Wellenfunktion mit konstanter Geschwindigkeit.
Jeder der obigen Zustände ist somit eine "stehende Welle", eine "stationäre Schwingung" der Wellenfunktion (die durch Betrag und Phasenwinkel gegeben ist). Dabei bleibt der Betrag der Wellengröße, der die Ortsverteilung beschreibt, immer konstant, nur der Phasenwinkel ändert sich periodisch.
Übergänge zwischen Zuständen 1
Video: Übergang zwischen den Zuständen mit den Quantenzahlen N=3, l=1, m=0 und N=4, l=2, m=0
Durch Anregung über ein elektrisches Wechselfeld (Bestrahlung mit Laserlicht), kann ein
Elektron durch Absorption eines Photons von einem Zustand niedrigerer Energie in einen
Zustand höherer Energie (einen sog. angeregten Zustand) übergehen. Durch Aussenden eines
Photons kann das Elektron wieder in Zustände mit niedrigerer Energie übergehen.
Normalerweise (bei Zimmertemperatur) befinden sich Wasserstoffatome im Grundzustand. Wenn
ein Gas aus Wasserstoffatomen jedoch aufgeheizt wird (Sonnenatmosphäre) oder
elektrischen Entladungen ausgesetzt wird (Gasentladungslampe), finden sich die Atome
immer wieder in angeregten Zuständen und emittieren immer wieder Photonen. Das Gas
leuchtet dann. Die Frequenzen des emittierten Lichtes entsprechen den Energiedifferenzen
der Zustände, zwischen denen die Übergänge stattfinden.
Der obige Film zeigt den Übergang zwischen Zuständen mit Hauptquantenzahlen N=3 und N=4.
Das Energie zuführende oder wegtragende Photon ist nicht gezeigt. In diesem Beispiel hat
das Photon vertikale Polarisation und wird bevorzugt in horizontale Richtung emittiert
(bzw. trifft aus horizontaler Richtung ein). Der Drehimpuls des Zustandes ändert sich um
ein Drehimpulsquantum (also um den Wert ħ). Dieser Drehimpuls wird vom Photon angeliefert bzw.
abtransportiert; Photonen sind Elementarteilchen mit "Spin 1", dh. ihr
Drehimpuls hat den Wert ħ.
Übergänge zwischen Zuständen 2
Video: Übergang zwischen den Zuständen mit den Quantenzahlen N=3, l=1, m=0 und N=4, l=2, m=1
Dieser Film zeigt wieder den Übergang zwischen Zuständen mit den Hauptquantenzahlen N=3 und N=4. Das Energie zuführende oder wegtragende Photon ist nicht gezeigt. In diesem Beispiel hat das Photon zirkulare Polarisation und wird bevorzugt in vertikale Richtung emittiert (bzw. trifft aus vertikaler Richtung ein). Der Drehimpuls des Zustandes ändert sich um ein Drehimpulsquantum. (Dieser Drehimpuls wird vom Photon angeliefert bzw. abtransportiert; Photonen sind Elementarteilchen mit "Spin 1", dh. ihr Drehimpuls hat den Wert ħ). Die vertikale Komponente des Drehimpulses (also die magnetische Quantenzahl m) ändert sich beim Übergang.