Quantenmechanik

visualisiert und animiert

Wellenpakete

  1. Ebene und lokalisierte Wellen
  2. Freie Bewegung
  3. Beeinflusste Bewegung

Ebene und lokalisierte Wellen

Teilchenstrahlen und ebene Wellen

Video: Eindimensionale Darstellung einer ebenen Welle mit zweidimensionaler Wellengröße.

Das Wichtigste in Kürze

In der Quantenmechanik wird ein Strahl von identischen Teilchen der Masse m und mit Impuls p, der eine überall konstante Teilchendichte hat, durch eine sog. ebene Welle mit zweidimensionaler Wellengröße beschrieben. Wir visualisieren diese ebene Welle in einer Raumdimension durch eine konstante Intensität und sich periodisch ändernde Farbe. Die "Farbeigenschaft" läßt sich nicht direkt beobachten und tritt erst bei Interferenz in Erscheinung. Die Wellenlänge symbolisiert den Impuls der Teilchen im Teilchenstrahl.

Eine ebene Welle beschreibt keinen räumlich lokalisierten Vorgang. Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zu finden ist überall gleich groß. Kein Ort ist vor dem anderen ausgezeichnet.
Die Wellenzahl k (bzw. die Wellenlänge λ wird durch den Impuls der Teilchen festgelegt:
k = 2π/λ = p/ħ
Die Frequenz ω der Welle (bzw. die Periode T) wird durch die Energie der Teilchen festgelegt:
ω = 2π/T = E/ħ
Da für frei bewegte Teilchen die Energie (=kinetische Energie) durch den Impuls bestimmt wird,
E = p²/2m
bestimmt der Impuls der Teilchen auch die Frequenz der ebenen Welle, und es gilt folgender Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenzahl:
ω = ħk²/2m


Vergleich der Phasengeschwindigkeiten

Video: Vergleich der Phasengeschwindigkeiten von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Impulsen (Wellenlängen): kleiner Impuls - große Wellenlänge (oben); mittlerer Impuls - mittlere Wellenlänge (Mitte); großer Impuls - kleine Wellenlänge (unten)

Die Geschwindigkeit der Farbstreifen (die sogenannte Phasengeschwindigkeit) ist abhängig von der Wellenlänge. Je kürzer die Wellenlänge, desto rascher bewegt sich die Welle vorwärts.
Die Phasengeschwindigkeit wird durch den orts- und zeitabhängigen Phasenwinkel
a = kx - ωt
definiert. Eine bestimmte (zB eine rote) Stelle legt ja die Strecke von einer Wellenlänge
λ=2π/k
genau innerhalb einer Zeitperiode
t=2π/ω
zurück. Die Phasengeschwindigkeit ist daher
vph = zurückgelegter Weg / benötigte Zeit = λ/T = ω/k
Bei einer quantenmechanischen ebenen Welle ist nun aber
ω = ħk²/2m
Daher beträgt die Phasengeschwindigkeit hier
vph = ħk/2m
Der Zusammenhang mit dem Impuls p = ħk und der Geschwindigkeit v = p/m der Teilchen ist daher
vph = p/2m = v/2

Zusammenfassung

Die Phasengeschwindigkeit einer ebenen Welle ist genau gleich der halben Teilchengeschwindigkeit.

Die Phase der ebenen Welle ist nicht direkt beobachtbar, daher ist auch die Phasengeschwindigkeit nicht direkt beobachtbar. Sie ist eine Eigenschaft des mathematischen Modells. Beobachtbar sind die Interferenzmuster bei der Überlagerung von Wellen. Diese Interferenzmuster hängen von der Wellenlänge ab, aber nicht von der Phasengeschwindigkeit.


Teilchenstrahlen mit räumlich variierender Teilchendichte

Video: Überlagerung von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Impulsen: Die Welle oben ist die Summe der drei ebenen Wellen unten.

Durch Interferenz von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen können wir Teilchenstrahlen mit räumlich und zeitlich veränderlicher Teilchendichte erreichen.
Im gezeigten Film ist die Wellenfunktion oben die Summe der drei unten gezeigten ebenen Wellen. Das Interferenzmuster ändert sich mit der Zeit, da sich die drei ebenen Wellen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit bewegen.
Die Überlagerung von Wellen zur Erzeugung neuer Wellenformen nennt man auch Superposition.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an einer bestimmten Stelle im überlagerten Teilchenstrahl zu finden, nennt man Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem bestimmten Ort hängt von der dortigen Teilchendichte, also von der Größe des Wellenbetrages an dieser Stelle ab. Sie ist groß in Bereichen wo die Welle großen Betrag hat, und klein, wo die Welle kleinen Betrag hat.
Wenn es Punkte gibt, wo die Welle den Betrag Null hat, wird man dort überhaupt nie ein Teilchen finden.


Impulsverteilung einer Superposition

Video: Überlagerung (=Superposition) von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Impulsen. Die Welle oben ist die Summe der drei ebenen Wellen unten.

In einem Teilchenstrahl, der durch Superposition verschiedener ebener Wellen zustandekommt, befinden sich Beiträge mit unterschiedlichen Impulsen. Findet man ein irgendwo ein Teilchen, kann man nicht vorhersagen welchen Impuls es hat, denn es kann den Impuls irgendeiner der Teilwellen haben, die zur Überlagerung beitragen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in so einem Teilchenstrahl einen bestimmten Impuls (und somit eine bestimmte Geschwindigkeit) hat, beschreibt man durch die Intensität der ebenen Welle mit diesem Impuls. (Die Intensität einer ebenen Welle ist das Quadrat der Amplitude).
Die größte Wahrscheinlichkeit hat der Impuls, der zur Teilwelle mit der größten Intensität gehört.

Zusammenfassung

Die Impulsverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die angibt, welche Impulse mit welcher Wahrscheinlichkeit (Teilwellenintensität) in einem Teilchenstrahl vorkommen. In einer Superposition von ebenen Wellen ist die Wahrscheinlichkeit für den Impuls p proportional zum Quadrat der Amplitude der ebenen Welle mit Impuls p. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Impulse muß 1 ergeben.


Stehende Welle als Superposition gegenläufiger Wellen

Video: Die Überlagerung zweier gegenläufiger ebener Wellen ergibt eine stehende Welle.

Stehende Wellen und Schwingungsknoten

Überlagert man zwei gegenläufige Teilchenstrahlen, erhält man eine stehende Welle. Diese Art der Superposition kennen wir auch von Wellen mit eindimensionaler Wellengröße.
Die Gegenläufigkeit der Farbwellen erkennt man an der entgegengesetzten Abfolge von Farben:
Eine von links nach rechts laufende Welle hat positiven Impuls. Die Farbfolge einer solchen Welle ist (von links nach rechts): rot-gelb-grün-blaugrün-blau-violett-rot.
Eine von rechts nach links laufende Welle hat negativen Impuls. Die Farbfolge in diesem Fall ist umgekehrt. Blickt man jedoch in Richtung des Impulses, ist die Farbfolge immer gleich.
Die als Summe der gegenläufigen Teilwellen resultierende stehende Welle hat feststehende Schwingungsknoten (die Nullstellen der Wellenfunktion). In den Schwingungsbäuchen dazwischen bewegt sich die Wellengröße periodisch.

Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Impulsverteilung

Die Schwingungsbäuche sind Zonen hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeit, da dort die Wellenfunktion einen großen Betrag hat; in der Umgebung der Schwingungsknoten findet man jedoch so gut wie nie ein Teilchen.
In dieser Superposition ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen positiven Impuls hat, gleich groß, wie die, dass ein Teilchen negativen Impuls hat.

Beachte

So, wie im Doppelspaltexperiment auch für ein einzelnes Teilchen nicht entschieden werden kann, durch welchen Spalt es geht, kann hier nicht entschieden werden, welchen Impuls (positiv oder negativ) es hat. In jedem einzelnen Teilchen sind beide Möglichkeiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert. Die Interferenz dieser beiden Möglichkeiten produziert ja erst die Knoten der Wellenfunktion, gibt also jedem einzelnen Teilchen die Information, gewisse Stellen im Raum zu meiden.


Wellenberge
Abbildung 1: Wir brauchen zahlreiche ebene Wellen, um einen
                           Teilchenstrahl mit einem gut ausgeprägten "Wellenberg" zu erzeugen. Der
                           Wellenberg oben ist die Summe der ebenen Wellen unten.

Abbildung 1: Wir brauchen zahlreiche ebene Wellen, um einen Teilchenstrahl mit einem gut ausgeprägten "Wellenberg" zu erzeugen. Der Wellenberg oben ist die Summe der ebenen Wellen unten.

Abbildung 1 zeigt, dass durch Interferenz zahlreicher ebener Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen, räumlich gut lokalisierte Wellenberge erzeugt werden können.
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zu finden, ist in einem solchen Wellenberg am größten, da dort die Welle den größten Betrag (also die größte Teilchendichte) hat. Wenn man dort ein Teilchen findet, kann es jeden Impuls haben, der in einer der beitragenden ebenen Wellen vorkommt.
Solange man nur endlich viele ebene Wellen überlagert, sind die Teilchen nicht wirklich lokalisiert. Abbildung 2 zeigt die ebenen Wellen und deren Überlagerung auf einem größeren Bereich. Wir sehen, dass Wellenberge in gewissen Abständen immer wieder auftreten.

Abbildung 2: Die Wellenfunktion der Abbildung 1 aus einem größeren
                           Abstand betrachtet. Die Wellenberge wiederholen sich.

Abbildung 2: Die Wellenfunktion der Abbildung 1 aus einem größeren Abstand betrachtet. Die Wellenberge wiederholen sich.

Je mehr ebene Wellen man zur Überlagerung bringt, desto weiter rücken die Spitzen auseinander und desto besser kann man einen einzelnen, gut lokalisierten Wellenberg simulieren. Die Amplitude der ebenen Teilwellen wird dabei immer kleiner.


Überlagerung von ebenen Wellen mit kontinuierlich verteilten Impulsen - Wellenpakete
Abbildung 3: Wir müssen unendlich viele ebene Wellen mit
                           kontinuierlich variierenden Wellenlängen überlagern, um einen räumlich
                           nur an einer einzigen Stelle lokalisierten Wellenberg zu erzeugen.

Abbildung 3: Wir müssen unendlich viele ebene Wellen mit kontinuierlich variierenden Wellenlängen überlagern, um einen räumlich nur an einer einzigen Stelle lokalisierten Wellenberg zu erzeugen.

Eine einzelne Spitze wie im obigen Bild kann man nur durch Überlagerung kontinuierlich-unendlich vieler ebener Wellen erhalten (die Summation über kontinuierlich viele Impulse wird dann mathematisch durch eine Integration beschrieben). So einen Wellenberg nennt man auch Wellenpaket.
Wenn man im Wellenpaket ein Teilchen findet, kann man nicht vorhersagen, welchen Impuls es haben wird. Das Wellenpaket ist ja eine Überlagerung von Teilchenstrahlen mit allen möglichen Impulsen. Die einzelnen ebenen Wellen können aber in unterschiedlichem Ausmaß zum Wellenpaket beitragen. Manche Impulse wird man daher häufiger finden ans andere.

Abbildung 4: Anteil der ebenen Wellen mit bestimmten Impuls in der
                           Überlagerung.

Abbildung 4: Anteil der ebenen Wellen mit bestimmten Impuls in der Überlagerung.

Die Kurve der Abbildung 4 beschreibt, mit welchem Anteil bestimmte Impulse (also Wellenlängen) im Wellenpaket der Abbildung 3 vorkommen. (Die Fläche unter dieser Kurve ist 1, daher kann die Kurve als Wahrscheinlichkeitsverteilung für Impulse interpretiert werden). Das Maximum ist bei 0, das heisst, dass Impulse um 0 (ruhende Teilchen) in der Überlagerung mit der größten Wahrscheinlichkeit vorkommen. Impulse mit Beträgen größer als 3 kommen in der Überlagerung so gut wie nicht vor.


Ortsverteilung und Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Wenn wir es mit Wellenpaketen, also mit räumlich gut lokalisierten Wellenfunktionen zu tun haben, macht es kaum noch Sinn, von einem Teilchenstrahl zu sprechen. Wir denken uns dann "extrem dünn besetzte Teilchenstrahlen", in denen nur noch ein einziges Teilchen vorkommt. Anstelle von der "Teilchendichte" ist es dann sinnvoller, von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu sprechen. In der Quantenmechanik beschreibt man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens durch die Intensität der Wellenfunktion (durch das Quadrat des Betrages der Wellengröße). Die Wellenfunktion beschreibt dann keinen Teilchenstrahl, sondern charakterisiert die Bewegung eines einzelnen Teilchens.

Abbildung 5: Oberes Bild: Eine Wellenfunktion, dargestellt durch
                           Betrag und Phasenfarbe. Unteres Bild: Quadrat des Betrages der
                           Wellenfunktion = Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Dichte der
                           Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ortskoordinate).

Abbildung 5: Oberes Bild: Eine Wellenfunktion, dargestellt durch Betrag und Phasenfarbe. Unteres Bild: Quadrat des Betrages der Wellenfunktion = Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ortskoordinate).

In Teilchenstrahlen (keine Wechselwirkung der Teilchen untereinander!) hängt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit natürlich direkt mit der Teilchendichte (Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit) zusammen. In einem Bereich mit hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist die Teilchendichte hoch, in einem Bereich mit niedriger Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist die Teilchendichte gering.

Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Intervall:
Wenn ein Teilchen durch eine Wellenfunktion u beschrieben wird, so ist das Quadrat des Betrages der Wellenfunktion |u(x)|2 die Dichte der Ortsverteilung. Betrachten wir ein kleines Intervall der Länge dx um den Punkt x herum. Es soll so klein sein, dass die Wellenfunktion dort einen annähernd konstanten Wert u(x) hat. Dann ist
|u(x)|2 dx
die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in diesem Intervall anzutreffen.

In Worten

Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem kleinen Intervall = Quadrat des dortigen Betrages der Wellenfunktion mal der Intervalllänge


Unbestimmtheitsrelation

Video: Zusammenhang zwischen Ortsverteilung und Impulsverteilung

Je genauer die Aufenthaltswahrscheinlichkeit räumlich lokalisiert sein soll, desto breiter muss die Impulsverteilung der ebenen Wellen sein, die zur Überlagerung kommen.
Erklärung: Damit eine Funktion, die durch Überlagerung ebener Wellen entsteht, räumlich abrupte Veränderungen haben kann, müssen in der Überlagerung auch ganz kurze Wellenlängen (also hohe Impulsbeträge) eine Rolle spielen.
In Formeln lautet der Zusammenhang
Δx Δp ≥ ħ/2
Man nennt diese Formel die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation.
Wenn also der Ort eines Teilchens gut bekannt ist, ist der Impuls nur ungenau festgelegt. Umgekehrt: Wenn man den Impuls genau kennt, ist der Ort nur ungenau festgelegt. Bei exakt bekannten Impuls ist der Ort sogar völlig unbestimmt. In diesem Grenzfall ist das Teilchen durch eine ebene Welle beschrieben und alle Orte im Raum sind gleich wahrscheinlich.


Bewegung lokalisierter Wellenfunktionen

Video: Bewegung einer anfänglich gut lokalisierten Wellenfunktion, die sich aus einer großen Zahl von ebenen Wellen (unten) zusammensetzt. Da sich die ebenen Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, verändert sich die Form der Überlagerung.

Überlagert man ebene Wellen mit unterschiedlichen Impulsen erhält man lokalisierte Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Wenn der mittlere Impuls der Überlagerung Null ist, so erhält man eine im Mittel ruhende Verteilung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Da die zur Überlagerung kommenden ebenen Wellen unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben, kann die Form der resultierenden Wellenfunktion zeitlich nicht konstant bleiben. Zur lokalisierten Ortsverteilung tragen sowohl positive als auch negative Impulse und somit Geschwindigkeiten bei. Daher muss die anfänglich gut lokalisierte Ortsverteilung allmählich breiter werden.
Dieses "Zerfließen" der Wellenfunktion ist ein Ausdruck der Unbestimmtheitsrelation.
Man beachte, dass die ebenen Wellen mit der kürzesten Wellenlänge die größte Geschwindigkeit haben (kürzere Wellenlänge bedeutet höherer Impuls und damit größere Geschwindigkeit).

Abbildung 6: Verteilung der Impulse in der oben gezeigten Überlagerung
                           von ebenen Wellen. Diese Abbildung zeigt die Amplitude in Abhängigkeit
                           vom Impuls (Wellenzahl)

Abbildung 6: Verteilung der Impulse in der oben gezeigten Überlagerung von ebenen Wellen. Diese Abbildung zeigt die Amplitude in Abhängigkeit vom Impuls (Wellenzahl)

Ganz allgemein wird die Bewegung beliebiger Wellenfunktionen durch die Schrödingergleichung beschrieben. Die Schrödingergleichung für die Bewegung freier Teilchen lautet


Freie Bewegung

Quantenmechanische Wellenpakete im Raum

Video: Freie Bewegung eines Wellenpakets

Bewegung von Wellenpaketen im Raum

Die Überlegungen zu Wellenpaketen in einer Raumdimension treffen auch für Bewegungen in zwei oder drei Dimensionen zu.
Quantenmechanische Wellen sind räumlich mehr oder weniger gut lokalisiert. Man nennt solche in einem begrenzten Raumgebiet stattfindenden Wellenvorgänge "Wellenpakete". Der Film zeigt ein Wellenpaket, das sich durch den Raum bewegt. Es ändert dabei auch ein wenig seine Form (es wird größer).
Solche Wellenpakete beschreiben eigentlich keinen Teilchenstrahl im ursprünglichen Sinn, sondern die Bewegung eines einzelnen Teilchens. Das hier gezeigte Wellenpaket beschreibt dann zu jedem Zeitpunkt, wo sich das Teilchen ungefähr befindet.
Die Helligkeit (Intensität) der Wellenfunktion beschreibt die Ortsverteilung des Teilchens. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in den dunklen Zonen anzutreffen, ist annähernd null. Der oben gezeigte Vorgang zeigt also eine Bewegung, bei dem der Ort des Teilchens die ganze Zeit über mehr oder weniger genau bekannt ist.

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Abbildung 7

Abbildung 7

Ein Wellenpaket beschreibt das Verhalten eines einzelnen Teilchen.

Die Helligkeit der Wellenfunktion gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das jeweilige Raumgebiet an: Bei oftmaliger Wiederholung der Ortsmessung unter ansonsten identischen Bedingungen findet man das Teilchen an unterschiedlichen Orten. Man findet es häufig an den Stellen, wo die Wellenfunktion eine hohe Intensität hat. Man findet es nie in Gebieten, wo die Wellenfunktion Null ist.


Ortsmessungen

Die Größe eines Wellenpaketes sagt aus, wie genau der Ort des dadurch beschriebenen Teilchens bestimmt ist.
Wenn das Wellenpaket über einen großen Raumbereich verteilt ist, dann werden die Messwerte für den Teilchenort eine starke Streuung zeigen. Bei oftmaliger Messung des Ortes wird man stark unterschiedliche Teilchenkoordinaten bekommen.
Wenn das Wellenpaket gut lokalisiert ist, werden alle Ortsmessungen ähnliche Resultate erbringen. Falls also ein Teilchen durch ein gut lokalisiertes Wellenpaket beschrieben ist, können wir gut vorhersagen, wo es bei einer Ortsmessung angetroffen werden wird.
In der Quantenmechanik ist der Ort niemals exakt bestimmt, sondern immer mit einer gewissen Unsicherheit, da es keine punktförmigen Wellenpakete gibt.

Man beachte

Das Wellenpaket beschreibt kein physikalisches Kraftfeld und keine Massenverteilung.
Die zweidimensionale Wellengröße ("Helligkeit" und "Farbton"), die jedem Raum- und Zeitpunkt zugeordnet wird, ist nicht direkt messbar. Man kann aber daraus z.B. ableiten, mit welcher Wahrscheinlichkeit man ein Teilchen in einem bestimmten Raumgebiet antrifft.
Die Quantenmechanik macht also statistische Aussagen. Sie sagt nicht vorher, welches Messresultat man bei einer Einzelmessung erhalten wird.
Um Aussagen über Wahrscheinlichkeiten nachzuprüfen, muss man dasselbe Experiment unter identischen Bedingungen oft wiederholen.


Zufallsexperimente

Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment dessen Ausgang nicht feststeht. Mehrere verschiedene Resultate sind möglich, wobei manche Ergebnisse häufiger vorkommen können als andere. Zur Bestimmung der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten müssen Zufallsexperimente oft wiederholt werden.

Beispiele für klassische Zufallsexperimente

Das Werfen einer Münze: Zwei mögliche Ergebnisse (Kopf oder Zahl), die beide mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/2 auftreten.
Das Werfen eines Würfels: Sechs mögliche Ergebnisse (Augenzahlen 1 bis 6), die alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/6 auftreten.
Es ist egal, ob man dasselbe Experiment zeitlich hintereinander mehrmals ausführt, oder mit zahlreichen identischen Objekten gleichzeitig ausführt (vorausgesetzt, man stellt sicher, dass sich die Experimente nicht gegenseitig beeinflussen). So ist es zB egal für die Verteilung der Augenzahlen, ob man einen Würfel 100 mal wirft, oder ob man hundert Würfel gleichzeitig wirft.

Quantenmechanische Zufallsexperimente

In der Quantenmechanik (zum Unterschied von der klassischen Physik) kann man prinzipiell den Ort, den ein Teilchen zu einer gegebenen Zeit einnehmen wird, nicht genau vorhersagen. Die Messung des Ortes ist daher ein Zufallsexperiment. Bei jeder Ortsmessung werden die Ortskoordinaten eines Teilchens festgestellt (zB durch Beobachtung eines Leuchtpunktes auf einem fluoreszierenden Schirm). Bei oftmaliger Wiederholung dieses Experiments unter exakt denselben Bedingungen wird man eine charakteristische Verteilung der festgestellten Orte finden. Aus der Kenntnis der Wellenfunktion des Teilchens kann man diese Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ortes vorhersagen.
Die Feststellung der Teilchendichte in einem Teilchenstrahl, dessen Teilchen sich gegenseitig nicht beeinflussen, entspricht der gleichzeitigen Ortsmessung von identischen Teilchen. Im Extremfall kann die Teilchendichte so dünn sein, dass zu jeder Zeit nur einzelne Teilchen zwischen Teilchenquelle und Detektor unterwegs sind. Dann werden nacheinander eintreffende Teilchen einzeln festgestellt. Das entspricht der zeitlichen Hintereinanderausführung einzelner Zufallsexperimente. In beiden Fällen erhält man dieselben Resultate für die Wahrscheinlichkeit, mit der man ein Teilchen in einem bestimmten Raumgebiet antrifft.


Geschwindigkeitsverteilung

Video: Bewegung eines Teilchens mit gut bekanntem Anfangsort. Das Wellenpaket ist anfänglich gut lokalisiert, hat aber eine sehr unscharfe Geschwindigkeitsverteilung. Daher verbreitert es sich rasch und die Information über den Teilchenort wird immer ungenauer.

Video: In einem weniger gut lokalisierten Wellenpaket ist der Anfangsort des Teilchens nur ungenau bekannt. Dafür kann die Geschwindigkeit genauer bestimmt sein. Die Form eines solchen Wellenpaketes bleibt dann einigermaßen stabil.

Ein Wellenpaket ändert seine Form, während es sich durch den Raum bewegt. Eine recht gut lokalisierte Anfangsverteilung wird mit der Zeit immer "unschärfer", dh., die Ortsverteilung ist über einen immer größeren Bereich verteilt.
Das liegt daran, dass nicht nur der Ort des Teilchens, sondern auch seine Geschwindigkeit eine zufällige Verteilung hat. Die Unschärfe der Geschwindigkeit ist umso größer, je genauer der Ort des Teilchens am Anfang bekannt ist.
Ein lokalisiertes Wellenpaket bewegt sich beinahe wie ein Teilchen durch den Raum. Das Wellenpaket zeigt an, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchenortes mit der Zeit ändert. Der durch die Welle bestimmte Ort ist immer unscharf. Aber auch die Geschwindigkeit ist nur unscharf bestimmt. Man erkennt das an der Vergrößerung der Ortsunschärfe.


Grenzfall klassische Mechanik

Video: Vergleich von zwei Wellenpaketen, die zu Teilchen mit unterschiedlicher Masse m1 und m2 gehören. Links ein leichtes Teilchen und rechts ein schweres Teilchen.

Abhängigkeit von der Masse

Hier vergleichen wir die Bewegung von zwei Wellenpaketen, die Teilchen mit unterschiedlichen Massen m1 bzw. m2 beschreiben. Die beiden Wellenpakete haben zwar die gleiche mittlere Geschwindigkeit <v>, aber die dazugehörigen mittleren Impulse m1<v> und m2<v> sind wegen der unterschiedlichen Massen verschieden. Man sieht, dass das rechte Wellenpaket den größeren Impuls hat, weil die durchschnittliche Wellenlänge viel kleiner ist. Dieses Wellenpaket beschreibt also das schwerere Teilchen.
Es fällt auf, dass das Wellenpaket des schwereren Teilchens seine Form weitgehend beibehält, während das Wellenpaket des leichten Teilchens rasch "zerfließt". Das schwere Teilchen benimmt sich also viel ähnlicher wie ein Teilchen der klassischen Mechanik: Sein Ort ist während der ganzen beobachteten Bewegung einigermaßen gut definiert. Für das leichte Teilchen ist die Ortsunschärfe bald so groß, dass seine Bewegung kaum noch mit der klassischen Bewegung eines punktförmigen Teilchens vergleichbar ist.

Der Übergang zur klassischen Mechanik

Beim linken Wellenpaket ist die durchschnittliche Wellenlänge (also der durchschnittliche Abstand benachbarter gleichfarbiger Streifen) vergleichbar mit den Abmessungen des Wellenpakets. Beim rechten Wellenpaket ist die Wellenlänge klein im Vergleich zu seiner Ausdehnung. Dieses Wellenpaket zeigt "quasi-klassisches" Verhalten ähnlich dem eines Massenpunktes der klassischen Mechanik.
Alle unserer direkten Erfahrung und Beobachtung zugänglichen Teilchen (Staubpartikel, Sandkörner) sind viele Billiarden mal schwerer als ein Elektron. Es ist also kein Wunder, dass wir in unserer Umgebung quantenmechanisches Verhalten normalerweise nicht feststellen können. Für alle diese Teilchen ist die Ortsunschärfe viel zu klein, als dass man sie beobachten könnte. Das Wellenmodell spielt für die Beschreibung der Bewegung solcher Teilchen keine praktische Rolle. Für sehr schwere Teilchen geht die Quantenmechanik in die klassische Mechanik über.
Eine allgemeine Richtlinie, wann wir quantenmechanisches Verhalten zu erwarten haben, bietet die folgende Faustregel:
Wenn das Produkt aus der mittleren Energie E eines Vorgangs und der Zeitdauer t dieses Vorgangs vergleichbar mit dem Planck'schen Wirkungsquantum ist, dann wird der Vorgang von quantenmechanischen Effekten dominiert. Ist E*t sehr viel größer als das Plancksche Wirkungsquantum, dann kann der Vorgang in guter Näherung durch die klassische Physik beschrieben werden.


Beeinflusste Bewegung

Kräfte auf Wellenpakete 1

Video: Bewegung eines Wellenpakets im konstanten Gravitationsfeld. Der weiße Punkt stellt ein vergleichbares klassisches Teilchen dar. Es bewegt sich auf einer Wurfparabel.

Wellenpakete können durch Kräfte beeinflusst werden. Hier ist zB eine Wurfbewegung dargestellt, also die Bewegung eines Wellenpaketes in einem konstanten Kraftfeld. In der klassischen Mechanik ist diese Bewegung eine sogenannte Wurfparabel. Die entsprechende klassische Bewegung wird durch den weißen Punkt dargestellt.
Die Kraft weist überall senkrecht nach unten. Dadurch wird das Teilchen in vertikaler Richtung beschleunigt. Die horizontale Komponente der Geschwindigkeit wird hingegen überhaupt nicht beeinflußt. Die vertikale Komponente der Geschwindigkeit wird allmählich abgebremst, am höchsten Punkt der Wurfparabel kehrt sich die Bewegungsrichtung um und das Teilchen beginnt im Kraftfeld mit konstanter Beschleunigung nach unten zu fallen.
Auch das quantenmechanische Wellenpaket bewegt sich annähernd auf dieser Wurfparabel. Bei der gezeigten Bewegung ist der Ort des quantenmechanischen Teilchens somit immer ganz in der Nähe des nach der klassischen Physik erwarteten Ortes. Dieser Film zeigt also eine Bewegung, bei der quantenmechanische Effekte wie die Ortsunschärfe zwar nicht vernachlässigbar, aber noch nicht dominant sind.
Ein Wellenpaket, das sich ähnlich wie ein Massenpunkte der klassischen Mechanik bewegt, hat typischerweise eine durchschnittliche Wellenlänge, die klein ist im Vergleich zu den Abmessungen des Wellenpaketes. Das ist im vorliegenden Beispiel der Fall. Ein Gegenbeispiel zeigt der nächste Film.


Kräfte auf Wellenpakete 2

Video: Bewegung eines Wellenpakets im konstanten Kraftfeld (Wurfparabel). Starkes Zerfließen des Wellenpaketes.

Im Gegensatz zum vorangegangenen Film zeigt dieser Film eine stark durch die Quantenmechanik dominierte Situation. Die Wellennatur der quantenmechanischen Bewegung und die rasch größer werdende Unschärfe der Ortsverteilung sind die dominierenden Effekte. Die klassische Wurfparabel spielt für die Bewegung des Wellenpaketes nur noch eine untergeordnete Rolle. In der Quantenmechanik verliert daher der klassische Bahnbegriff seine Bedeutung.
Für den hier gezeigten Vorgang ist das Produkt aus Energie des Teilchens und Dauer der Bewegung vergleichbar mit dem Planck'schen Wirkungsquantum. In einer solchen Situation überwiegt die quantenmechanische Wellennatur der Bewegung. Im vorangegangenen Film ist das Produkt Energie mal Zeit deutlich größer als das Planck'sche Wirkungsquantum. Auch ist dort die Wellenlänge viel kleiner im Vergleich zur Ausdehnung des Wellenpaketes. Daher ist dort die Bewegung viel ähnlicher der klassisch-mechanischen Bewegung als in diesem Film.
Ohne, dass sich die Form der Wurfparabel ändert, wird das Produkt aus Energie und Zeitdauer kleiner, wenn man:
a) ein leichteres Teilchen betrachtet,
b)oder das Teilchen in einem schwächeren Kraftfeld mit geringerer Anfangsgeschwindigkeit wirft.
Wie schon im Fall der kräftefreien Bewegung, ist auch hier die Verbreiterung des Wellenpakets eine Folge der Unbestimmtheitsrelation. Genauso wie der Ort, ist auch die Geschwindigkeit um einen Mittelwert verteilt und nicht genau bestimmt. Eine anfänglich gut lokalisierte Ortsverteilung wird also mit der Zeit unschärfer, das Wellenpaket zerfließt.


Reflexion an einer Wand 1

Video: Ein Wellenpaket wird an einer undurchdringlichen Wand reflektiert.

Ähnlich wie eine Seilwelle an einem befestigten Ende reflektiert werden kann, kann auch ein quantenmechanisches Wellenpaket an einer undurchdringlichen Wand reflektiert werden. Eine solche Bewegung ist im Film dargestellt. Zum Vergleich zeigt der weisse Punkt eine entsprechende Bewegung gemäß der klassischen Mechanik (elastische Reflexion eines Massenpunktes an einer starren Wand - Impulsumkehr). Die quantenmechanische Bewegung hat durchaus gewisse Ähnlichkeiten mit der klassischen Bewegung. Das Wellenpaket bleibt immer in der Nähe der klassischen Position (weisser Punkt). Die Wellenlänge des Wellenpaketes ist relativ kurz gegen die Abmessungen des Wellenpaketes, daher wirkt sich der Effekt des Zerfließens nicht sehr stark aus.


Reflexion an einer Wand 2

Video: Ein Wellenpaket wird an einer undurchdringlichen Wand reflektiert.

Im Vergleich zum vorherigen Film hat dieses Wellenpaket eine wesentlich größere Wellenlänge. Der Impuls des Teilchens ist also hier viel kleiner und quantenmechanische Effekte wie das Zerfließen des Wellenpaketes werden viel deutlicher sichtbar. Wir sehen nun auch die Einzelheiten der Reflexion des Wellenpaketes an der Wand.
Der durchschnittliche Ort des quantenmechanischen Teilchens (der Schwerpunkt des Wellenpaketes) bleibt immer deutlich vor der Wand. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen direkt an der Wand anzutreffen ist Null. Ausserdem sehen wir vor der Wand ein Interferenzmuster mit Streifen der Verstärkung bzw. Auslöschung. Diese entstehen durch Interferenz des einfallenden und des reflektierten Wellenpaketes, die sich in diesem Raumgebiet überlappen. Es gibt also während des ganzen Reflexionsvorganges Auslöschungszonen, in denen man das Teilchen nie oder nur mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit antrifft.