Wellenpakete
- Ebene und lokalisierte Wellen
- Freie Bewegung
- Beeinflusste Bewegung
Ebene und lokalisierte Wellen
Teilchenstrahlen und ebene Wellen
Video: Eindimensionale Darstellung einer ebenen Welle mit zweidimensionaler Wellengröße.
In der Quantenmechanik wird ein Strahl von identischen Teilchen der Masse m und mit Impuls p, der eine überall konstante Teilchendichte hat, durch eine sog. ebene Welle mit zweidimensionaler Wellengröße beschrieben. Wir visualisieren diese ebene Welle in einer Raumdimension durch eine konstante Intensität und sich periodisch ändernde Farbe. Die "Farbeigenschaft" läßt sich nicht direkt beobachten und tritt erst bei Interferenz in Erscheinung. Die Wellenlänge symbolisiert den Impuls der Teilchen im Teilchenstrahl.
Eine ebene Welle beschreibt keinen räumlich lokalisierten Vorgang. Die
Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zu finden ist überall gleich groß. Kein Ort ist
vor dem anderen ausgezeichnet.
Die Wellenzahl k (bzw. die
Wellenlänge λ wird durch den Impuls der Teilchen festgelegt:
k = 2π/λ = p/ħ
Die Frequenz ω der Welle
(bzw. die Periode T) wird durch die Energie der Teilchen festgelegt:
ω = 2π/T = E/ħ
Da für frei bewegte Teilchen die
Energie (=kinetische Energie) durch den Impuls bestimmt wird,
E =
p²/2m
bestimmt der Impuls der Teilchen auch die Frequenz der
ebenen Welle, und es gilt folgender Zusammenhang zwischen Frequenz und
Wellenzahl:
ω = ħk²/2m
Vergleich der Phasengeschwindigkeiten
Video: Vergleich der Phasengeschwindigkeiten von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Impulsen (Wellenlängen): kleiner Impuls - große Wellenlänge (oben); mittlerer Impuls - mittlere Wellenlänge (Mitte); großer Impuls - kleine Wellenlänge (unten)
Die Geschwindigkeit der Farbstreifen (die sogenannte Phasengeschwindigkeit) ist
abhängig von der Wellenlänge. Je kürzer die Wellenlänge, desto rascher bewegt
sich die Welle vorwärts.
Die Phasengeschwindigkeit wird durch den orts-
und zeitabhängigen Phasenwinkel
a = kx - ωt
definiert. Eine bestimmte (zB eine rote) Stelle legt ja die Strecke von
einer Wellenlänge
λ=2π/k
genau innerhalb einer Zeitperiode
t=2π/ω
zurück. Die Phasengeschwindigkeit ist daher
vph = zurückgelegter Weg / benötigte Zeit = λ/T = ω/k
Bei einer quantenmechanischen ebenen Welle ist nun aber
ω =
ħk²/2m
Daher beträgt die Phasengeschwindigkeit hier
vph = ħk/2m
Der Zusammenhang mit dem
Impuls p = ħk und der Geschwindigkeit v = p/m der
Teilchen ist daher
vph = p/2m = v/2
Die Phasengeschwindigkeit einer ebenen Welle ist genau gleich der halben Teilchengeschwindigkeit.
Die Phase der ebenen Welle ist nicht direkt beobachtbar, daher ist auch die Phasengeschwindigkeit nicht direkt beobachtbar. Sie ist eine Eigenschaft des mathematischen Modells. Beobachtbar sind die Interferenzmuster bei der Überlagerung von Wellen. Diese Interferenzmuster hängen von der Wellenlänge ab, aber nicht von der Phasengeschwindigkeit.
Teilchenstrahlen mit räumlich variierender Teilchendichte
Video: Überlagerung von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Impulsen: Die Welle oben ist die Summe der drei ebenen Wellen unten.
Durch Interferenz von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Wellenlängen können
wir Teilchenstrahlen mit räumlich und zeitlich veränderlicher Teilchendichte
erreichen.
Im gezeigten Film ist die Wellenfunktion oben die Summe der
drei unten gezeigten ebenen Wellen. Das Interferenzmuster ändert sich mit der
Zeit, da sich die drei ebenen Wellen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit
bewegen.
Die Überlagerung von Wellen zur Erzeugung neuer Wellenformen
nennt man auch Superposition.
Die Wahrscheinlichkeit, ein
Teilchen an einer bestimmten Stelle im überlagerten Teilchenstrahl zu finden,
nennt man Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit an einem bestimmten Ort hängt von der dortigen
Teilchendichte, also von der Größe des Wellenbetrages an dieser Stelle ab. Sie
ist groß in Bereichen wo die Welle großen Betrag hat, und klein, wo die Welle
kleinen Betrag hat.
Wenn es Punkte gibt, wo die Welle den Betrag Null hat,
wird man dort überhaupt nie ein Teilchen finden.
Impulsverteilung einer Superposition
Video: Überlagerung (=Superposition) von ebenen Wellen mit unterschiedlichen Impulsen. Die Welle oben ist die Summe der drei ebenen Wellen unten.
In einem Teilchenstrahl, der durch Superposition verschiedener ebener Wellen
zustandekommt, befinden sich Beiträge mit unterschiedlichen Impulsen. Findet
man ein irgendwo ein Teilchen, kann man nicht vorhersagen welchen Impuls es
hat, denn es kann den Impuls irgendeiner der Teilwellen haben, die zur
Überlagerung beitragen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen in so
einem Teilchenstrahl einen bestimmten Impuls (und somit eine bestimmte
Geschwindigkeit) hat, beschreibt man durch die Intensität der
ebenen Welle mit diesem Impuls. (Die Intensität einer ebenen Welle ist das
Quadrat der Amplitude).
Die größte Wahrscheinlichkeit hat der Impuls, der
zur Teilwelle mit der größten Intensität gehört.
Die Impulsverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die angibt, welche Impulse mit welcher Wahrscheinlichkeit (Teilwellenintensität) in einem Teilchenstrahl vorkommen. In einer Superposition von ebenen Wellen ist die Wahrscheinlichkeit für den Impuls p proportional zum Quadrat der Amplitude der ebenen Welle mit Impuls p. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Impulse muß 1 ergeben.
Stehende Welle als Superposition gegenläufiger Wellen
Video: Die Überlagerung zweier gegenläufiger ebener Wellen ergibt eine stehende Welle.
Stehende Wellen und Schwingungsknoten
Überlagert man zwei gegenläufige Teilchenstrahlen, erhält man eine stehende
Welle. Diese Art der Superposition kennen wir auch von Wellen mit
eindimensionaler Wellengröße.
Die Gegenläufigkeit der Farbwellen erkennt
man an der entgegengesetzten Abfolge von Farben:
Eine von links nach
rechts laufende Welle hat positiven Impuls. Die Farbfolge einer solchen
Welle ist (von links nach rechts):
rot-gelb-grün-blaugrün-blau-violett-rot.
Eine von rechts nach links
laufende Welle hat negativen Impuls. Die Farbfolge in diesem Fall ist
umgekehrt. Blickt man jedoch in Richtung des Impulses, ist die Farbfolge
immer gleich.
Die als Summe der gegenläufigen Teilwellen resultierende
stehende Welle hat feststehende Schwingungsknoten (die Nullstellen der
Wellenfunktion). In den Schwingungsbäuchen dazwischen bewegt sich die
Wellengröße periodisch.
Aufenthaltswahrscheinlichkeit und Impulsverteilung
Die Schwingungsbäuche sind Zonen hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeit, da
dort die Wellenfunktion einen großen Betrag hat; in der Umgebung der
Schwingungsknoten findet man jedoch so gut wie nie ein Teilchen.
In
dieser Superposition ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen positiven
Impuls hat, gleich groß, wie die, dass ein Teilchen negativen Impuls
hat.
So, wie im Doppelspaltexperiment auch für ein einzelnes Teilchen nicht entschieden werden kann, durch welchen Spalt es geht, kann hier nicht entschieden werden, welchen Impuls (positiv oder negativ) es hat. In jedem einzelnen Teilchen sind beide Möglichkeiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit realisiert. Die Interferenz dieser beiden Möglichkeiten produziert ja erst die Knoten der Wellenfunktion, gibt also jedem einzelnen Teilchen die Information, gewisse Stellen im Raum zu meiden.
Wellenberge
Abbildung 1: Wir brauchen zahlreiche ebene Wellen, um einen Teilchenstrahl mit einem gut ausgeprägten "Wellenberg" zu erzeugen. Der Wellenberg oben ist die Summe der ebenen Wellen unten.
Abbildung 1 zeigt, dass durch Interferenz zahlreicher ebener Wellen mit
unterschiedlichen Wellenlängen, räumlich gut lokalisierte Wellenberge erzeugt
werden können.
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zu finden, ist in einem
solchen Wellenberg am größten, da dort die Welle den größten Betrag (also die
größte Teilchendichte) hat. Wenn man dort ein Teilchen findet, kann es jeden
Impuls haben, der in einer der beitragenden ebenen Wellen vorkommt.
Solange
man nur endlich viele ebene Wellen überlagert, sind die Teilchen nicht wirklich
lokalisiert. Abbildung 2 zeigt die ebenen Wellen und deren Überlagerung auf
einem größeren Bereich. Wir sehen, dass Wellenberge in gewissen Abständen immer
wieder auftreten.
Abbildung 2: Die Wellenfunktion der Abbildung 1 aus einem größeren Abstand betrachtet. Die Wellenberge wiederholen sich.
Je mehr ebene Wellen man zur Überlagerung bringt, desto weiter rücken die Spitzen auseinander und desto besser kann man einen einzelnen, gut lokalisierten Wellenberg simulieren. Die Amplitude der ebenen Teilwellen wird dabei immer kleiner.
Überlagerung von ebenen Wellen mit kontinuierlich verteilten Impulsen - Wellenpakete
Abbildung 3: Wir müssen unendlich viele ebene Wellen mit kontinuierlich variierenden Wellenlängen überlagern, um einen räumlich nur an einer einzigen Stelle lokalisierten Wellenberg zu erzeugen.
Eine einzelne Spitze wie im obigen Bild kann man nur durch Überlagerung
kontinuierlich-unendlich vieler ebener Wellen erhalten (die Summation über
kontinuierlich viele Impulse wird dann mathematisch durch eine Integration
beschrieben). So einen Wellenberg nennt man auch
Wellenpaket.
Wenn man im Wellenpaket ein Teilchen findet, kann
man nicht vorhersagen, welchen Impuls es haben wird. Das Wellenpaket ist ja
eine Überlagerung von Teilchenstrahlen mit allen möglichen Impulsen. Die
einzelnen ebenen Wellen können aber in unterschiedlichem Ausmaß zum Wellenpaket
beitragen. Manche Impulse wird man daher häufiger finden ans andere.
Abbildung 4: Anteil der ebenen Wellen mit bestimmten Impuls in der Überlagerung.
Die Kurve der Abbildung 4 beschreibt, mit welchem Anteil bestimmte Impulse (also Wellenlängen) im Wellenpaket der Abbildung 3 vorkommen. (Die Fläche unter dieser Kurve ist 1, daher kann die Kurve als Wahrscheinlichkeitsverteilung für Impulse interpretiert werden). Das Maximum ist bei 0, das heisst, dass Impulse um 0 (ruhende Teilchen) in der Überlagerung mit der größten Wahrscheinlichkeit vorkommen. Impulse mit Beträgen größer als 3 kommen in der Überlagerung so gut wie nicht vor.
Ortsverteilung und Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Wenn wir es mit Wellenpaketen, also mit räumlich gut lokalisierten Wellenfunktionen zu tun haben, macht es kaum noch Sinn, von einem Teilchenstrahl zu sprechen. Wir denken uns dann "extrem dünn besetzte Teilchenstrahlen", in denen nur noch ein einziges Teilchen vorkommt. Anstelle von der "Teilchendichte" ist es dann sinnvoller, von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit zu sprechen. In der Quantenmechanik beschreibt man die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens durch die Intensität der Wellenfunktion (durch das Quadrat des Betrages der Wellengröße). Die Wellenfunktion beschreibt dann keinen Teilchenstrahl, sondern charakterisiert die Bewegung eines einzelnen Teilchens.
Abbildung 5: Oberes Bild: Eine Wellenfunktion, dargestellt durch Betrag und Phasenfarbe. Unteres Bild: Quadrat des Betrages der Wellenfunktion = Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit (Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ortskoordinate).
In Teilchenstrahlen (keine Wechselwirkung der Teilchen untereinander!) hängt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit natürlich direkt mit der Teilchendichte (Anzahl der Teilchen pro Volumeneinheit) zusammen. In einem Bereich mit hoher Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist die Teilchendichte hoch, in einem Bereich mit niedriger Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist die Teilchendichte gering.
Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein Intervall:
Wenn ein Teilchen durch
eine Wellenfunktion u beschrieben wird, so ist das Quadrat des
Betrages der Wellenfunktion |u(x)|2 die Dichte der Ortsverteilung. Betrachten wir ein
kleines Intervall der Länge dx um den Punkt x herum. Es soll
so klein sein, dass die Wellenfunktion dort einen annähernd konstanten Wert
u(x) hat. Dann ist
|u(x)|2
dx
die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in diesem Intervall anzutreffen.
Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem kleinen Intervall = Quadrat des dortigen Betrages der Wellenfunktion mal der Intervalllänge
Unbestimmtheitsrelation
Video: Zusammenhang zwischen Ortsverteilung und Impulsverteilung
Je genauer die Aufenthaltswahrscheinlichkeit räumlich lokalisiert sein soll,
desto breiter muss die Impulsverteilung der ebenen Wellen sein, die zur
Überlagerung kommen.
Erklärung: Damit eine Funktion, die durch
Überlagerung ebener Wellen entsteht, räumlich abrupte Veränderungen haben kann,
müssen in der Überlagerung auch ganz kurze Wellenlängen (also hohe
Impulsbeträge) eine Rolle spielen.
In Formeln lautet der Zusammenhang
Δx Δp ≥ ħ/2
Man nennt diese Formel die
Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation.
Wenn also der Ort
eines Teilchens gut bekannt ist, ist der Impuls nur ungenau festgelegt.
Umgekehrt: Wenn man den Impuls genau kennt, ist der Ort nur ungenau festgelegt.
Bei exakt bekannten Impuls ist der Ort sogar völlig unbestimmt. In diesem
Grenzfall ist das Teilchen durch eine ebene Welle beschrieben und alle Orte im
Raum sind gleich wahrscheinlich.
Bewegung lokalisierter Wellenfunktionen
Video: Bewegung einer anfänglich gut lokalisierten Wellenfunktion, die sich aus einer großen Zahl von ebenen Wellen (unten) zusammensetzt. Da sich die ebenen Wellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, verändert sich die Form der Überlagerung.
Überlagert man ebene Wellen mit unterschiedlichen Impulsen erhält man
lokalisierte Aufenthaltswahrscheinlichkeiten. Wenn der mittlere Impuls der
Überlagerung Null ist, so erhält man eine im Mittel ruhende Verteilung der
Aufenthaltswahrscheinlichkeit.
Da die zur Überlagerung kommenden ebenen
Wellen unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben, kann die Form der
resultierenden Wellenfunktion zeitlich nicht konstant bleiben. Zur
lokalisierten Ortsverteilung tragen sowohl positive als auch negative Impulse
und somit Geschwindigkeiten bei. Daher muss die anfänglich gut lokalisierte
Ortsverteilung allmählich breiter werden.
Dieses "Zerfließen" der
Wellenfunktion ist ein Ausdruck der Unbestimmtheitsrelation.
Man beachte,
dass die ebenen Wellen mit der kürzesten Wellenlänge die größte Geschwindigkeit
haben (kürzere Wellenlänge bedeutet höherer Impuls und damit größere
Geschwindigkeit).
Abbildung 6: Verteilung der Impulse in der oben gezeigten Überlagerung von ebenen Wellen. Diese Abbildung zeigt die Amplitude in Abhängigkeit vom Impuls (Wellenzahl)
Ganz allgemein wird die Bewegung beliebiger Wellenfunktionen durch die Schrödingergleichung beschrieben. Die Schrödingergleichung für die Bewegung freier Teilchen lautet
Freie Bewegung
Quantenmechanische Wellenpakete im Raum
Video: Freie Bewegung eines Wellenpakets
Bewegung von Wellenpaketen im Raum
Die Überlegungen zu Wellenpaketen in einer Raumdimension treffen auch für
Bewegungen in zwei oder drei Dimensionen zu.
Quantenmechanische Wellen
sind räumlich mehr oder weniger gut lokalisiert. Man nennt solche in einem
begrenzten Raumgebiet stattfindenden Wellenvorgänge "Wellenpakete". Der Film
zeigt ein Wellenpaket, das sich durch den Raum bewegt. Es ändert dabei auch
ein wenig seine Form (es wird größer).
Solche Wellenpakete beschreiben
eigentlich keinen Teilchenstrahl im ursprünglichen Sinn, sondern die
Bewegung eines einzelnen Teilchens. Das hier gezeigte Wellenpaket beschreibt
dann zu jedem Zeitpunkt, wo sich das Teilchen ungefähr befindet.
Die
Helligkeit (Intensität) der Wellenfunktion beschreibt die Ortsverteilung des
Teilchens. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in den dunklen Zonen
anzutreffen, ist annähernd null. Der oben gezeigte Vorgang zeigt also eine
Bewegung, bei dem der Ort des Teilchens die ganze Zeit über mehr oder
weniger genau bekannt ist.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
Abbildung 7
Die Helligkeit der Wellenfunktion gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das jeweilige Raumgebiet an: Bei oftmaliger Wiederholung der Ortsmessung unter ansonsten identischen Bedingungen findet man das Teilchen an unterschiedlichen Orten. Man findet es häufig an den Stellen, wo die Wellenfunktion eine hohe Intensität hat. Man findet es nie in Gebieten, wo die Wellenfunktion Null ist.
Ortsmessungen
Die Größe eines Wellenpaketes sagt aus, wie genau der Ort des dadurch
beschriebenen Teilchens bestimmt ist.
Wenn das Wellenpaket über einen
großen Raumbereich verteilt ist, dann werden die Messwerte für den Teilchenort
eine starke Streuung zeigen. Bei oftmaliger Messung des Ortes wird man stark
unterschiedliche Teilchenkoordinaten bekommen.
Wenn das Wellenpaket gut
lokalisiert ist, werden alle Ortsmessungen ähnliche Resultate erbringen. Falls
also ein Teilchen durch ein gut lokalisiertes Wellenpaket beschrieben ist,
können wir gut vorhersagen, wo es bei einer Ortsmessung angetroffen werden
wird.
In der Quantenmechanik ist der Ort niemals exakt bestimmt, sondern
immer mit einer gewissen Unsicherheit, da es keine punktförmigen Wellenpakete
gibt.
Das Wellenpaket beschreibt kein physikalisches Kraftfeld und keine
Massenverteilung.
Die zweidimensionale Wellengröße ("Helligkeit" und
"Farbton"), die jedem Raum- und Zeitpunkt zugeordnet wird, ist nicht direkt
messbar. Man kann aber daraus z.B. ableiten, mit welcher Wahrscheinlichkeit
man ein Teilchen in einem bestimmten Raumgebiet antrifft.
Die
Quantenmechanik macht also statistische Aussagen. Sie sagt nicht vorher,
welches Messresultat man bei einer Einzelmessung erhalten wird.
Um
Aussagen über Wahrscheinlichkeiten nachzuprüfen, muss man dasselbe
Experiment unter identischen Bedingungen oft wiederholen.
Zufallsexperimente
Ein Zufallsexperiment ist ein Experiment dessen Ausgang nicht feststeht. Mehrere verschiedene Resultate sind möglich, wobei manche Ergebnisse häufiger vorkommen können als andere. Zur Bestimmung der jeweiligen Wahrscheinlichkeiten müssen Zufallsexperimente oft wiederholt werden.
Beispiele für klassische Zufallsexperimente
Das Werfen einer Münze: Zwei mögliche Ergebnisse (Kopf oder Zahl), die beide
mit der gleichen Wahrscheinlichkeit 1/2 auftreten.
Das Werfen eines
Würfels: Sechs mögliche Ergebnisse (Augenzahlen 1 bis 6), die alle mit der
gleichen Wahrscheinlichkeit 1/6 auftreten.
Es ist egal, ob man dasselbe
Experiment zeitlich hintereinander mehrmals ausführt, oder mit zahlreichen
identischen Objekten gleichzeitig ausführt (vorausgesetzt, man stellt
sicher, dass sich die Experimente nicht gegenseitig beeinflussen). So ist es
zB egal für die Verteilung der Augenzahlen, ob man einen Würfel 100 mal
wirft, oder ob man hundert Würfel gleichzeitig wirft.
Quantenmechanische Zufallsexperimente
In der Quantenmechanik (zum Unterschied von der klassischen Physik) kann man
prinzipiell den Ort, den ein Teilchen zu einer gegebenen Zeit einnehmen
wird, nicht genau vorhersagen. Die Messung des Ortes ist daher ein
Zufallsexperiment. Bei jeder Ortsmessung werden die Ortskoordinaten eines
Teilchens festgestellt (zB durch Beobachtung eines Leuchtpunktes auf einem
fluoreszierenden Schirm). Bei oftmaliger Wiederholung dieses Experiments
unter exakt denselben Bedingungen wird man eine charakteristische Verteilung
der festgestellten Orte finden. Aus der Kenntnis der Wellenfunktion des
Teilchens kann man diese Wahrscheinlichkeitsverteilung des Ortes
vorhersagen.
Die Feststellung der Teilchendichte in einem
Teilchenstrahl, dessen Teilchen sich gegenseitig nicht beeinflussen,
entspricht der gleichzeitigen Ortsmessung von identischen Teilchen. Im
Extremfall kann die Teilchendichte so dünn sein, dass zu jeder Zeit nur
einzelne Teilchen zwischen Teilchenquelle und Detektor unterwegs sind. Dann
werden nacheinander eintreffende Teilchen einzeln festgestellt. Das
entspricht der zeitlichen Hintereinanderausführung einzelner
Zufallsexperimente. In beiden Fällen erhält man dieselben Resultate für die
Wahrscheinlichkeit, mit der man ein Teilchen in einem bestimmten Raumgebiet
antrifft.
Geschwindigkeitsverteilung
Video: Bewegung eines Teilchens mit gut bekanntem Anfangsort. Das Wellenpaket ist anfänglich gut lokalisiert, hat aber eine sehr unscharfe Geschwindigkeitsverteilung. Daher verbreitert es sich rasch und die Information über den Teilchenort wird immer ungenauer.
Video: In einem weniger gut lokalisierten Wellenpaket ist der Anfangsort des Teilchens nur ungenau bekannt. Dafür kann die Geschwindigkeit genauer bestimmt sein. Die Form eines solchen Wellenpaketes bleibt dann einigermaßen stabil.
Ein Wellenpaket ändert seine Form, während es sich durch den Raum bewegt. Eine
recht gut lokalisierte Anfangsverteilung wird mit der Zeit immer "unschärfer",
dh., die Ortsverteilung ist über einen immer größeren Bereich verteilt.
Das
liegt daran, dass nicht nur der Ort des Teilchens, sondern auch seine
Geschwindigkeit eine zufällige Verteilung hat. Die Unschärfe der
Geschwindigkeit ist umso größer, je genauer der Ort des Teilchens am Anfang
bekannt ist.
Ein lokalisiertes Wellenpaket bewegt sich beinahe wie ein
Teilchen durch den Raum. Das Wellenpaket zeigt an, wie sich die
Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchenortes mit der Zeit ändert. Der durch
die Welle bestimmte Ort ist immer unscharf. Aber auch die Geschwindigkeit ist
nur unscharf bestimmt. Man erkennt das an der Vergrößerung der
Ortsunschärfe.
Grenzfall klassische Mechanik
Video: Vergleich von zwei Wellenpaketen, die zu Teilchen mit unterschiedlicher Masse m1 und m2 gehören. Links ein leichtes Teilchen und rechts ein schweres Teilchen.
Abhängigkeit von der Masse
Hier vergleichen wir die Bewegung von zwei Wellenpaketen, die Teilchen mit
unterschiedlichen Massen m1 bzw. m2 beschreiben. Die beiden Wellenpakete haben zwar
die gleiche mittlere Geschwindigkeit <v>, aber die dazugehörigen
mittleren Impulse m1<v> und m2<v> sind wegen der unterschiedlichen Massen
verschieden. Man sieht, dass das rechte Wellenpaket den größeren Impuls hat,
weil die durchschnittliche Wellenlänge viel kleiner ist. Dieses Wellenpaket
beschreibt also das schwerere Teilchen.
Es fällt auf, dass das
Wellenpaket des schwereren Teilchens seine Form weitgehend beibehält,
während das Wellenpaket des leichten Teilchens rasch "zerfließt". Das
schwere Teilchen benimmt sich also viel ähnlicher wie ein Teilchen der
klassischen Mechanik: Sein Ort ist während der ganzen beobachteten Bewegung
einigermaßen gut definiert. Für das leichte Teilchen ist die Ortsunschärfe
bald so groß, dass seine Bewegung kaum noch mit der klassischen Bewegung
eines punktförmigen Teilchens vergleichbar ist.
Der Übergang zur klassischen Mechanik
Beim linken Wellenpaket ist die durchschnittliche Wellenlänge (also der
durchschnittliche Abstand benachbarter gleichfarbiger Streifen) vergleichbar
mit den Abmessungen des Wellenpakets. Beim rechten Wellenpaket ist die
Wellenlänge klein im Vergleich zu seiner Ausdehnung. Dieses Wellenpaket
zeigt "quasi-klassisches" Verhalten ähnlich dem eines Massenpunktes der
klassischen Mechanik.
Alle unserer direkten Erfahrung und Beobachtung
zugänglichen Teilchen (Staubpartikel, Sandkörner) sind viele Billiarden mal
schwerer als ein Elektron. Es ist also kein Wunder, dass wir in unserer
Umgebung quantenmechanisches Verhalten normalerweise nicht feststellen
können. Für alle diese Teilchen ist die Ortsunschärfe viel zu klein, als
dass man sie beobachten könnte. Das Wellenmodell spielt für die Beschreibung
der Bewegung solcher Teilchen keine praktische Rolle. Für sehr schwere
Teilchen geht die Quantenmechanik in die klassische Mechanik über.
Eine
allgemeine Richtlinie, wann wir quantenmechanisches Verhalten zu erwarten
haben, bietet die folgende Faustregel:
Wenn das Produkt aus der
mittleren Energie E eines Vorgangs und der Zeitdauer t dieses Vorgangs
vergleichbar mit dem Planck'schen Wirkungsquantum ist, dann wird der Vorgang
von quantenmechanischen Effekten dominiert. Ist E*t sehr viel größer als das
Plancksche Wirkungsquantum, dann kann der Vorgang in guter Näherung durch
die klassische Physik beschrieben werden.
Beeinflusste Bewegung
Kräfte auf Wellenpakete 1
Video: Bewegung eines Wellenpakets im konstanten Gravitationsfeld. Der weiße Punkt stellt ein vergleichbares klassisches Teilchen dar. Es bewegt sich auf einer Wurfparabel.
Wellenpakete können durch Kräfte beeinflusst werden. Hier ist zB eine
Wurfbewegung dargestellt, also die Bewegung eines Wellenpaketes in einem
konstanten Kraftfeld. In der klassischen Mechanik ist diese Bewegung eine
sogenannte Wurfparabel. Die entsprechende klassische Bewegung wird durch den
weißen Punkt dargestellt.
Die Kraft weist überall senkrecht nach unten.
Dadurch wird das Teilchen in vertikaler Richtung beschleunigt. Die horizontale
Komponente der Geschwindigkeit wird hingegen überhaupt nicht beeinflußt. Die
vertikale Komponente der Geschwindigkeit wird allmählich abgebremst, am
höchsten Punkt der Wurfparabel kehrt sich die Bewegungsrichtung um und das
Teilchen beginnt im Kraftfeld mit konstanter Beschleunigung nach unten zu
fallen.
Auch das quantenmechanische Wellenpaket bewegt sich annähernd auf
dieser Wurfparabel. Bei der gezeigten Bewegung ist der Ort des
quantenmechanischen Teilchens somit immer ganz in der Nähe des nach der
klassischen Physik erwarteten Ortes. Dieser Film zeigt also eine Bewegung, bei
der quantenmechanische Effekte wie die Ortsunschärfe zwar nicht
vernachlässigbar, aber noch nicht dominant sind.
Ein Wellenpaket, das sich
ähnlich wie ein Massenpunkte der klassischen Mechanik bewegt, hat
typischerweise eine durchschnittliche Wellenlänge, die klein ist im Vergleich
zu den Abmessungen des Wellenpaketes. Das ist im vorliegenden Beispiel der
Fall. Ein Gegenbeispiel zeigt der nächste Film.
Kräfte auf Wellenpakete 2
Video: Bewegung eines Wellenpakets im konstanten Kraftfeld (Wurfparabel). Starkes Zerfließen des Wellenpaketes.
Im Gegensatz zum vorangegangenen Film zeigt dieser Film eine stark durch die
Quantenmechanik dominierte Situation. Die Wellennatur der quantenmechanischen
Bewegung und die rasch größer werdende Unschärfe der Ortsverteilung sind die
dominierenden Effekte. Die klassische Wurfparabel spielt für die Bewegung des
Wellenpaketes nur noch eine untergeordnete Rolle. In der Quantenmechanik
verliert daher der klassische Bahnbegriff seine Bedeutung.
Für den hier
gezeigten Vorgang ist das Produkt aus Energie des Teilchens und Dauer der
Bewegung vergleichbar mit dem Planck'schen Wirkungsquantum. In einer solchen
Situation überwiegt die quantenmechanische Wellennatur der Bewegung. Im
vorangegangenen Film ist das Produkt Energie mal Zeit deutlich größer als das
Planck'sche Wirkungsquantum. Auch ist dort die Wellenlänge viel kleiner im
Vergleich zur Ausdehnung des Wellenpaketes. Daher ist dort die Bewegung viel
ähnlicher der klassisch-mechanischen Bewegung als in diesem Film.
Ohne,
dass sich die Form der Wurfparabel ändert, wird das Produkt aus Energie und
Zeitdauer kleiner, wenn man:
a) ein leichteres Teilchen betrachtet,
b)oder das Teilchen in einem schwächeren Kraftfeld mit geringerer
Anfangsgeschwindigkeit wirft.
Wie schon im Fall der kräftefreien Bewegung, ist auch hier die
Verbreiterung des Wellenpakets eine Folge der Unbestimmtheitsrelation. Genauso
wie der Ort, ist auch die Geschwindigkeit um einen Mittelwert verteilt und
nicht genau bestimmt. Eine anfänglich gut lokalisierte Ortsverteilung wird also
mit der Zeit unschärfer, das Wellenpaket zerfließt.
Reflexion an einer Wand 1
Video: Ein Wellenpaket wird an einer undurchdringlichen Wand reflektiert.
Ähnlich wie eine Seilwelle an einem befestigten Ende reflektiert werden kann, kann auch ein quantenmechanisches Wellenpaket an einer undurchdringlichen Wand reflektiert werden. Eine solche Bewegung ist im Film dargestellt. Zum Vergleich zeigt der weisse Punkt eine entsprechende Bewegung gemäß der klassischen Mechanik (elastische Reflexion eines Massenpunktes an einer starren Wand - Impulsumkehr). Die quantenmechanische Bewegung hat durchaus gewisse Ähnlichkeiten mit der klassischen Bewegung. Das Wellenpaket bleibt immer in der Nähe der klassischen Position (weisser Punkt). Die Wellenlänge des Wellenpaketes ist relativ kurz gegen die Abmessungen des Wellenpaketes, daher wirkt sich der Effekt des Zerfließens nicht sehr stark aus.
Reflexion an einer Wand 2
Video: Ein Wellenpaket wird an einer undurchdringlichen Wand reflektiert.
Im Vergleich zum vorherigen Film hat dieses Wellenpaket eine wesentlich größere
Wellenlänge. Der Impuls des Teilchens ist also hier viel kleiner und
quantenmechanische Effekte wie das Zerfließen des Wellenpaketes werden viel
deutlicher sichtbar. Wir sehen nun auch die Einzelheiten der Reflexion des
Wellenpaketes an der Wand.
Der durchschnittliche Ort des
quantenmechanischen Teilchens (der Schwerpunkt des Wellenpaketes) bleibt immer
deutlich vor der Wand. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen direkt an der Wand
anzutreffen ist Null. Ausserdem sehen wir vor der Wand ein Interferenzmuster
mit Streifen der Verstärkung bzw. Auslöschung. Diese entstehen durch
Interferenz des einfallenden und des reflektierten Wellenpaketes, die sich in
diesem Raumgebiet überlappen. Es gibt also während des ganzen
Reflexionsvorganges Auslöschungszonen, in denen man das Teilchen nie oder nur
mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit antrifft.