Quantenmechanik

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波及び粒子光線

  1. 導入

導入

粒子と波 - 入門

量子力学の歴史的最初においては、次のようなことが観察されました。光というのは多くの実験において、 あたかも波のようにふるまいます。しかし、別の実験においては、あたかも素粒子(光子)のようにふるまいます。
まもなく、次のことが知られてきました。すべての素粒子の運動というのは、ある意識した条件では、波(波長と振動数) というものが見える状態であり、別の条件においては粒子としての性質(運動量とエネルギー) が前面に見える状態であるということがわかってきました。
粒子の性質に関しては、その運動において、 粒子としての性質なのか波としての性質なのかどちらかであるか証明することは難しい。 光の流れにおいては、古典力学ではまず最初に波としての性質があらわれます。 電子のビームにおいては、まず、粒子としての性質があらわれます。
実際、光子と電子とを波と粒子として比較してみると、

  • それらはいつでも粒子としてユニークに現れます。それらは点状であり、どこにあらわれるか、 いつでも確定した場所を決められて波のようにいろいろなところに分散してどこかに存在するわけではありません。 そして、我々は、その速度と運動量を測定することができます。
  • それらの運動は波の運搬の規則性に従っています。すなわち、粒子の空間的位置は干渉を示します。
波と粒子の二重性

今日、電子だけでなく光子の場合にも、 粒子について語ります。
その力学的運動は、波の広がりによって記述されます。


この章の外観

この章においては、粒子のビームを記述するように、まず最初に波というテーマについての基本的な概念を勉強します。
粒子のビームが波としての性質を持っているということを証明することができる最も重要な実験はダブルスリットによる実験です。 それは、干渉の確認としての役割を果たして、すなわち典型的な波の性質を宿しています。 我々はそれを徹底的に根底から取り扱います。
そうすると一つの疑問があらわれます。どのようにして我々は、この観察の結果を数学的に記述するのでしょうか。 我々は、粒子のビームの中の粒子の運動を波を通して記述します。それは、通常、いささか複雑な性質を持ちます。 いつものように、波の大きさは二次元でなければなりません。この複雑な状況のなかで、 我々は波としての性質を可視化するために色を選びます。


波ーもっとも重要なもの
正弦波のスナップショット

正弦波のスナップショット

もっとも簡単な場合は、一つの波は物理的には空間的な大きさにおいてそして時間的に周期的に動いている現象です。
正弦型の波は次の式で表すことができます。

u(x,t) = A sin(kx - ωt + d)
ここでA というのは波の振幅、k は波の波数で、ωは角振動数です。 波数と角振動数は、波長λと周期T に依存します。

k = 2π/λ
ω = 2π/T

正弦波の引数、 a = kx - ωt + d は位相角といいます。数d は位相速度を表します。

学びのための注釈


波の可視化

2次元において、我々は、一つの波を色の濃さのグラフで可視化します。波を形成する物理的な大きさ(つまり波の高さ)の値は黒白の値を通してシンボル化されています。
ここでは、波の山は明るく、波の谷は暗い。


波の干渉

異なる波長を持った2つの波の重ね合わせによる干渉

このフィルムは2つのよくピントのあった波の運動を表しています。それは、少し異なった波長と異なった伝搬速度をもって互いに運動しています。波の山のところは明るく、谷のところは、暗い。
波の運動を重ね合わせする方向に持ってくると、重ね合わさっている領域で波の干渉がみられます。
干渉というのは数学的に記述することができます。そこにおいては、非常に簡単にそれぞれの点の上に「変位」(波の大きさ)を付け加えることができます。

  • 二つの波の山(明るい)が一緒になるところには、とくに高い波の山が現れます。
    (図の中:明るい灰色+明るい灰色=白)
  • 波の谷(負の変位)を付け加えると、ひとつの深い波の谷が存在します。
    (図の中:暗い灰色+暗い灰色=黒)
  • ある場所とある時間に波の山と波の谷が一緒にやってくると、その点における波の大きさを打ち消します。
    (図の中:濃い灰色+明るい灰色=中間の灰色)

一つの重要な干渉効果のデモのための実験はダブルスリットの実験です。


定在波−1

一つの振動している紐

一つの振動している紐を見てみましょう。そこでは、片方の端は固定されていて、もう片方の端は周期的に動いています。
固定されている端(そこをx=0とすることができるでしょう)においては、変位uに対してはいつでも次の式が成り立たねばなりません。
u(x=0,t) = 0 すべてのtにおいて.
われわれは、この条件を2つの等しい振幅を持って反対に運動する波の重ね合わせによって、すべての時間に対して満たすことができます。

u(x,t) = A sin(kx - ωt) + A sin(kx + ωt) = 2 A cos(ωt) sin(kx)
この重ね合わせを次の章で調べてみましょう。

学びのための注釈


定在波−2

反対方向に走る波の重ね合わせとしての定在波。下の赤い波は上の緑のそれぞれの波の合計。

次のフィルムは、二つの同じ振幅を持って反対方向に動く波の重ね合わせを示しています。
u(x,t) = A sin(kx - ωt) + A sin(kx + ωt) = 2 A cos(ωt) sin(kx) 重ね合わせが作られます。そこにおいては、簡単にそれぞれの点で個々の波の大きさ(変位)が加えられます。
2つの走り去る波の重ね合わせは、それ自身は走り去る波ではありません。そうではなくて、いわゆる定在波です。
ある場所が存在します。その場所では関数 u(x,t) がすべてのtに対して常に消えます。すなわち、u(xn,t) = 0、ここでxn = πn∕k。これらの場所は、振動の節(ふし)と呼ばれます。全体としては、その変位は時間的に周期的に変化します。
ある時間tが存在して、そこでは関数 u(x,t) がどこでも消えます。すなわち、すべてのxにおいてu(x,tn) = 0、ここでtn = πn∕ω 。
定在波は、従って時間的には周期的な経過であり(振動)、空間的には固定した(静的な)振動の節を持っています。


定在波−振動する弦

張った振動する紐。固定した振動の節を持った振動モード。

二つの端で固定された弾性的な紐(振動する弦)は、同様に定在波を作り出すことができます。もちろん、固定した波長を持ったものだけです。
以下のことを仮定しましょう。紐の固定した点が互いに距離Lを持っていると仮定しましょう。 固定された点は強制的に動かされる振動の節です。(=その点で紐がいつも静止している場所)。 一つの定在波は固定された点の間に、”振動の腹”であるひとつの確定した数nを持っています。 アニメーションは、1,2,3,4の振動の腹を持った振動の定在波を持っています。(つまり、0,1,2,3の振動の節)
振動の腹の距離は、正確に定在波の波長の半分です。それは、すなわちLが波長の半分の完全に何倍かになっているときです。振動する弦の唯一の可能な波長は、
λn = 2L/n
です。
(ここで、n = 1,2,3は振動の腹の数、n-1は振動の節の数)
定在波の振動数は直接n に比例して、振動する弦の質量と弾性率に依存します。

学びのための注釈