Quantenmechanik

visualisiert und animiert

notes

Wellenfunktion des Elektrons im Feld eines Wasserstoffatoms. Superposition mehrerer Energie-Eigenzustände. Die Visualisierung verwendet transparente Isoflächen für die Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Die Farbe beschreibt die Phase der komplexwertigen Wellenfunktion. Wo ist hier das Elektron, das den Atomkern angeblich auf einem Bohr'schen Orbit umkreist?

Hinweise für LehrerInnen - Zum Projekt

Herkunft und Entwicklung der Materialien

Dies ist eine Sammlung von Unterrichtsmaterialien zur Quantenmechanik für die Sekundarstufe 2. Teile des Materials in einer vorläufigen Form wurden im Jahre 2006 am BORG Graz, Monsbergergasse in drei Klassen getestet. Hier sind einige Interviews und Stellungnahmen dazu. Als Ergebnis des Tests wurden die Unterrichtseinheiten adaptiert und neu arrangiert.

Das vorliegende Angebot hat sich aus den Begleitmaterialien zu den Büchern "Visual Quantum Mechanics" und "Advanced Visual Quantum Mechanics" entwickelt. Diese verwenden neuartige Visualisierungsmethoden für den Unterricht der theoretischen Quantenmechanik an Universitäten. Es stellte sich heraus, dass die dort gewählten Darstellungsmethoden auch gut geeignet sind, die Quantenmechanik auf elementarerem Niveau einem größeren Publikum begreiflich zu machen.

Struktur der Unterrichtseinheiten

Die Unterrichtseinheiten behandeln jeweils möglichst kurze, in sich möglichst abgeschlossene Stoffkapitel. Sie versuchen dem Ideal der "reusable learning objects" möglichst nahe zu kommen (feine Granularität mit jeweils nur einem, klar definierten Lehrziel, Kontextunabhängigkeit, Wiederverwertbarkeit in anderen Zusammenhängen). Aus diesem Grunde existieren kaum Überleitungen zwischen den Lerneinheiten, die Bezüge der Lerneinheiten untereinander sind auf das notwendige Minimum reduziert, um die wechselseitige Abhängigkeit zu reduzieren. Die Navigationsstruktur ist zur Gänze in der Menu-Seitenleiste enthalten, die einen möglichen Lernpfad durch das Material vorschlägt. Im Prinzip können bei Bedarf die Lernobjekte auch in geänderter Reihenfolge und zur Illustration eigener Inhalte verwendet werden.

Das Lernszenario

Wir hoffen, dass sich die Materialien gut für den lehrergeleiteten und lehrerzentrierten Unterricht einsetzen lassen, der nach wie vor die verbreitetste Unterrichtsform ist. In diesem Szenario werden die bereitgestellten Animationen und Visualisierungen zur Illustration des vom Lehrenden vorgetragenen Lehrstoffes verwendet. Die Präsentation erfolgt primär über Videoprojektion während des Unterrichts. Die Texte, die hier die Filme begleiten, sollten für Schüler zum Nachlernen und Wiederholen verständlich sein.

Durch allmähliche Ausstattung der Lerneinheiten mit Testfragen und Wissensüberprüfungen hoffen wir, in Zukunft die Nützlichkeit des Materials für das Selbststudium nach und nach zu erhöhen. Die Attraktivität der Lerneinheiten soll durch den vermehrten Einsatz von interaktiven Animationen (Flash) gesteigert werden.

Der Zugang zur Quantenmechanik

Die Unterrichtseinheiten versuchen, unter weitgehender Vermeidung formaler oder mathematischer Argumente, in die moderne Quantenmechanik einzuführen. Der phänomenologische Hintergrund wird dabei von kurzen Animationen gebildet. An konkreten Experimenten wird nur das Doppelspaltexperiment diskutiert, und auch das erfolgt in einer stark stilisierten Form. Der Zugang erarbeitet ein Beschreibungsmodell für die Bewegung von Teilchen, das die beobachteten wellenförmigen Interferenzen in den gefundenen Teilchenorten korrekt beschreibt (jedoch nicht erklärt). Für eine in sich schlüssige Argumentationskette wird weiter eigentlich nichts benötigt.

Die unhaltbare Lage der klassischen Physik zu Beginn des 20. Jahrhunderts manifestiert sich vor allem in Einstein's Erklärung des Photoeffekts und durch die Bohr'sche Theorie von diskreten Energieniveaus in atomaren Systemen, welche die spektroskopischen Beobachtungen ("Spektrallinien") auf einfachste Art beschrieb. Mancher Lehrende wird es für vorteilhaft halten, dem Lernenden auch diesen historischen Hintergrund zu erklären.

Allerdings sollten die historischen Atommodelle nicht zu breit dargestellt werden. Sie nehmen sonst in der Vorstellung der Schüler einen zu prominenten Platz ein - somit ist der didaktische Wert dieser Vorgehensweise sehr in Frage zu stellen. In diesem Kurs wird versucht, ein Modell vom Wasserstoffatom auf der Grundlage der Vorstellung von wellenförmigen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten zu entwickeln. Die Energiezustände des Elektrons im Wasserstoffatom werden dann durch eine stationäre Schwingung der Wellenfunktion beschrieben. Diese zeitgemäßere Vorstellung wird durch das antiquierte Bild vom Bohr'schen Atommodell (Kreisbahnen mit Quantenbedingung) eher behindert. Langfristig tendieren Schüler dazu, die kompliziertere Erklärung (Quantenmechanik) zu vergessen, während das unzutreffendere, doch einfachere Bild des Bohr'schen Atoms im Gedächtnis bleibt.

Obwohl die Planck'sche Strahlungsformel (Hohlraumstrahlung) von großer historischer Bedeutung für die Entwicklung der Quantenmechanik ist, sind wir der Meinung, dass sie im schulischen Kontext zu schwierig zu verstehen ist, und daher wenig zur begrifflichen Entwicklung auf Schulniveau beitragen kann. Auf sie wird daher hier nicht Bezug genommen.

Vorkenntnisse

Es wurde versucht, mit minimalen Vorkenntnissen auszukommen.

Grundkenntnisse über Wellen und Schwingungen sind vorteilhaft, sie werden im nötigen Ausmaß zu Beginn wiederholt. Die Schüler sollten verstehen können, dass Wellen Funktionen der Raum- und Zeitkoordinaten sind. Die relativ ausführliche Beschreibung klassischer Teilchenstrahlen ist ein Novum. Es erschien jedoch wünschenswert, die nicht ganz trivialen Begriffe von Teilchendichte, Stromdichte, Ladungs- und Massendichte in einem Teilchenstrahl einigermaßen sorgfältig einzuführen. Die entsprechenden Vorkenntnisse können meist nicht vorausgesetzt werden.

Die Addition von Vektoren (über die Parallelogrammregel) in zwei Dimensionen wird benötigt, um die Interferenz von vektorwertigen Wellen zu erklären. An den entsprechenden Stellen können diese Grundtatsachen aus der Vektorrechnung sicher leicht eingeführt werden, ansonsten kann und soll an die Anschauung appelliert werden.

Eigentlich sind quantenmechanische Wellenfunktionen komplexwertige Funktionen. Zum vollen (mathematischen) Verständnis werden eigentlich die komplexen Zahlen benötigt, die sehr oft in der Schule nicht mehr unterrichtet werden. Die Erklärungen sind daher so formuliert, dass komplexe Zahlen nicht erwähnt werden.

Was man tatsächlich braucht, um die Interferenz von Teilchenstrahlen zu modellieren, ist eine zweidimensionale Wellengröße (deren Betrag direkt beobachtbar ist, deren Phasenwinkel sich aber nur bei Interferenz manifestiert). Hier verwenden wir Farben um so eine zweidimensionale Wellengröße darzustellen. Die rein mathematisch-abstrakte Beschreibung mit Hilfe komplexer Zahlen wird hier also durch qualitativ-anschauliche Visualisierungen mit Hilfe von Farben ersetzt.

Hinweise für LehrerInnen - Welle-Teilchen Dualismus

Bemerkungen zur Darstellung des Welle-Teilchen-Dualismus

Leider wird der Welle-Teilchen Dualismus oft so dargestellt, als ob nicht klar wäre, ob Elektronen oder Photonen nun "eigentlich" Teilchen oder Wellen seien. Die Mehrheit der modernen Physiker steht aber auf dem folgenden Standpunkt: Alle Elementarteilchen sind tatsächlich Teilchen. Wenn man sie an irgendeinem Ort findet, sind sie punktförmig, und nicht über ein Raumgebiet verschmiert. Nur die zeitliche Veränderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit dieser Massenpunkte muss mit Hilfe von Begriffen beschrieben werden, die ansonsten zur Beschreibung von Wellen verwendet werden.

Es ist wohl besser, die "wahre Natur" der Elektronen und Photonen als "Teilchen" nicht zu sehr in Frage zu stellen, da das nur zu Verwirrungen führt. Für philosophische Exkursionen ist später noch Zeit und alternative Interpretationen der Quantenmechanik sind eher etwas für Spezialisten.

Elektronen und Photonen sind also punktförmige Teilchen. Was sich wellenförmig verteilt ist ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Die Feststellung von Welleneigenschaften betrifft die Beschreibung der Bewegung, der Fortpflanzung durch den Raum, aber nicht die "Natur" der Teilchen.

Dem liegt eine allgemeine Beobachtung zu Grunde: Wenn es für den Wert einer Observablen mehrere Möglichkeiten gibt, dann hat die Observable im allgemeinen tatsächlich keinen bestimmten Wert - dieser ist "in der physikalischen Realität" einfach nicht festgelegt (das unterscheidet eine quantenmechanische Observable von einer klassischen Zufallsvariablen). Die verschiedenen Möglichkeiten können sich nun gegenseitig beeinflussen ("Interferenz"). Durch diese Interferenz zeigt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit wellenartige Muster im Ortsraum, wenn die in Frage stehende Observable eben der Ort ist. Das Auftreten von Interferenz zeigt also an, dass das Teilchen in einem Zustand ist, in dem der Ort nicht genau festgelegt ist. Diese Art und Weise, wie die Quantenmechanik mit dem gleichzeitigen Vorliegen von Alternativen und Möglichkeiten umgeht, ist das eigentlich Neuartige und Revolutionäre an der Quantenmechanik. Dies wird später im Doppelspaltexperiment besonders deutlich.

Zur Natur der Elektronen und Photonen

Die Tatsache, dass historisch bei Photonenstrahlen zuerst der Wellencharakter, bei Elektronenstrahlen zuerst der Teilchencharakter festgestellt wurde, liegt auch in den Teilcheneigenschaften begründet:

Photonen sind Bosonen, die untereinander keine Wechselwirkung haben. Bosonen haben die Eigenschaft, dass viele Teilchen denselben quantenmechanischen Zustand besetzen können. Es können (zB in einem Laserstrahl) sehr viele Photonen auftreten, deren Bewegung durch ein und dieselbe Wellenfunktion beschrieben wird (kohärenter Strahl). Die Besetzung des quantenmechanischen Zustandes durch extrem viele Teilchen (die aber keine Wechselwirkung untereinander haben) "verstärkt" die Wellenfunktion und macht Interferenzeffekte relativ leicht auch makroskopisch nachweisbar.

Ganz anders verhalten sich Elektronen. Elektronen sind Fermionen und das Pauli-Prinzip verbietet, dass sich mehrere Elektronen einen quantenmechanischen Zustand teilen. Jede elektronische Wellenfunktion wird also nur durch ein einzelnes Elektron realisiert - eine "Verstärkung" der Wellenfunktion durch viele Elektronen ist also ausgeschlossen. Ein Strahl aus vielen Elektronen ist inkohärent und Interferenzen sind viel schwerer zu beobachten, da sich die Beiträge der einzelnen Wellenfunktionen zu leicht herausmitteln. Interferenzen im Elektronenstrahl müssen durch "Einzelereignisse" nachgewiesen werden. Große Dichten im Elektronenstrahl lassen ausserdem die Coulombabstossung störend in Erscheinung treten. Elektronen sind also in diesem Sinne Individualisten, und ein Strahl von Elektronen läßt sich daher eher als Ansammlung von Teilchen beobachten.

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Hinweise für LehrerInnen - Wellen - Das Wichtigste in Kürze

Wellen und Quantenmechanik

Anstelle der Sinuswelle tritt in der Quantenmechanik die komplexe ebene Welle. Der physikalische Zustand von Teilchen wird dann durch Wellengrößen beschrieben: Die Wellenzahl k ist proportional zum Impuls, und die Kreisfrequenz ω ist proportional zur Energie (für kräftefreie, nichtrelativistische Teilchen ist das die kinetische Energie, die immer positiv ist.
Eine gute Kenntnis der Begriffe Wellenzahl (Wellenlänge) und Kreisfrequenz (Schwingungsdauer, Periode) ist daher für ein Verständnis der Quantenmechanik nötig.

Grundbegriffe der Wellenlehre

Für diese kurzgefaßte Übersicht wird angenommen, dass Wellen und die damit zusammenhängenden Begriffsbildungen bereits unterrichtet wurden. Wenn das nicht der Fall ist, wird man den Begriffen Kreisfrequenz, Wellenzahl, Wellengeschwindigkeit wohl ein wenig Zeit widmen müssen. Auch die Phasengeschwindigkeit v = ω/k sollte diskutiert werden.
Es ist vielleicht sinnvoll, die Bewegung der harmonischen Welle in den folgenden allgemeinen Zusammenhang zu stellen (Transformation/Verschiebung von Funktionen):

1) Den Graphen der Funktion h(x) = f(kx), k>0, erhält man aus dem Graphen von f durch horizontale Streckung (k<1) oder Stauchung (k>1). Falls k<0 ist, wird der Graph von f an der vertikalen Koordinatenachse (Ordinate) gespiegelt.

2) f(x) = sin(x) hat die räumliche Periode (Wellenlänge) 2π, daher hat h(x) = sin(kx) die Wellenlänge 2π/k

3) Den Graphen der Funktion g(x) = f(x-a) erhält durch Verschiebung des Graphen der Funktion f(x) nach rechts um a.

4) Sei x eine Ortskoordinate, t eine Zeitkoordinate: Die Formel f(x-vt) beschreibt dann eine zeitabhängige Verschiebung um vt nach rechts, falls v positiv ist. Dh., der Graph der Funktion f bewegt sich mit der Geschwindigkeit v nach rechts.

5) Die Funktion sin(kx-ωt) = sin[k(x-(ω/k)t)] = f(x-vt) (wobei f(x) = sin(kx)) beschreibt daher eine Welle mit Wellenlänge 2π/k, die sich mit der Geschwindigkeit v=ω/k nach rechts bewegt (v>0).

Im Hinblick auf die Quantenmechanik werden wir ω in der Regel positiv wählen, während k (und somit v) sowohl positiv (Bewegung nach rechts) als auch negativ sein kann (Bewegung nach links).

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Hinweise für LehrerInnen - Stehende Wellen

Das Hauptziel des Abschnitts über stehende Wellen ist die Vermittlung der Erkenntnis, dass eine stationäre Schwingung (räumlich feststehende Schwingungsknoten) das Resultat einer Überlagerung fortlaufender (gegenläufiger) Wellen sein kann.
Die Überlagerung wird in der Physik auch (lineare) Superposition genannt. Es handelt sich einfach um eine Linearkombination von Lösungen der entsprechenden Wellengleichung. Bei der linearen Wellengleichung und bei der Schrödingergleichung werden durch Superposition aus schon vorhandenen Lösungen neue Lösungen erzeugt. In der Quantenmechanik erzeugt man so die später zu besprechenden Wellenpakete, aber auch diejenigen Lösungen der Schrödingergleichung, die bestimmte Randbedingungen erfüllen.
Die Erzeugung neuer Schwingungsformen oder Wellenformen aus elementaren harmonischen Wellen ist eine wesentliche Methode, allgemeine Lösungen von Schwingungsgleichungen zu erhalten.

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Hinweise für LehrerInnen - Stehende Wellen - Die schwingende Saite

Beziehung zur Quantenmechanik

Die eingespannte schwingende Saite ist für die Quantenmechanik von extremer Wichtigkeit. Die Schrödingergleichung für ein Teilchen in einer Schachtel mit undurchdringlichen Wänden hat in einer Raumdimension ganz analoge Lösungen. Die schwingende Saite ist der Realteil einer Lösung der Schrödingergleichung:
Eigenschwingungen der klassischen schwingenden Saite:
sin(kx) cos(ωt)
Lösungen der Schrödingergleichung mit Dirichlet-Randbedingungen (Teilchen in einer eindimensionalen Schachtel mit undurchlässigen Wänden):
sin(kx) exp(iωt)
Die klassische schwingende Saite illustriert für die Quantenmechanik das Zustandekommen stationärer Zustände mit diskreten Energien. Nur bei ganz bestimmten Frequenzen ("Eigenfrequenzen") vollführt die eingespannte Saite stationäre Schwingungen mit räumlich feststehenden Schwingungsknoten ("Eigenschwingungen"). Die Frequenzen der schwingenden Saite sind also "quantisiert". Eine stationäre Schwingung kann nicht bei jeder beliebigen Frequenz stattfinden, sondern nur bei den Eigenfrequenzen des Systems (der schwingenden Saite).
Eine stationäre Schwingung ist nichts anderes als eine stehende Welle, kann also als Überlagerung gegenläufiger Wellen gedacht werden. Da in der Quantenmechanik die Frequenz eines Wellenvorgangs zur Energie des dadurch beschriebenen Teilchens proportional ist, erklärt die Existenz von Eigenfrequenzen die Existenz der diskreten Energieniveaus, also die Quantisierung der Energie.
Jedes Energieniveau entspricht einem stationären Zustand des Teilchens (einer stehenden Welle = stationäre Schwingung der das Teilchen beschreibenden Wellenfunktion). Diese Situation ist ganz analog in höheren Raumdimensionen - also bei einer schwingenden Membran (2 Dimensionen) und bei stehenden Wellen in einem Hohlraum (3 Dimensionen).
Auch die diskreten Energieniveaus der Atomen sind nichts anderes als die Eigenfrequenzen von stationären Schwingungen. Der einzige Unterschied ist, dass die Wellenfunktion nicht durch die Wände des Hohlraums eingeschränkt wird, sondern durch die Kraft des Atomkerns gebunden wird.

Mathematische Modellbildung

Es sollte darauf hingewiesen werden, dass die ungedämpfte stationäre Schwingung einer eingespannten Seite eine mathematische Idealisierung ist, die bei realen Systemen so nicht beobachtbar ist. Durch unvermeidliche Verluste bei elastischer Deformation, durch die Reibung an den Befestigungspunkten, durch Luftwiderstand, etc., geht der realen makroskopischen Schwingung Energie verloren und jede Bewegung kommt asymptotisch mit der Zeit zum Stillstand. Die Amplitude geht asymptotisch gegen Null, wobei Schwingungen mit höherer Frequenz zuerst weggedämpft werden.

Nichtstationäre Schwingungen und Überlagerungen

Durch lineare Superposition (Überlagerung) der Eigenschwingungen können nicht-stationäre Schwingungen der Seite erzeugt werden. Das Anzupfen einer eingespannten Seite erregt normalerweise nicht eine einzelne Eigenschwingung, sondern eine kompliziertere Schwingung. Die Bedeutung der Eigenschwingungen liegt darin, dass alle möglichen Bewegungen der Saite als Überlagerung von Eigenschwingungen aufgefasst werden können. Mathematisch werden diese Überlagerungen durch Fourierreihen beschrieben.
Auch in der Quantenmechanik gibt es solche Superpositionen. Das sind zeitabhängige Zustände, die keine scharfe Energie haben, sondern eine Überlagerung mehrerer Energien darstellen. Eventuell gehen durch Abstrahlung von Photonen Zustände mit höherer Energie in Zustände mit niedrigerer Energie über. Die Abstrahlung von Energie ist das quantenmechanische Analogon zur Dämpfung der schwingenden Saite durch Reibung.
Anders als in der klassischen Physik hat die Amplitude der Schwingung in der Quantenmechanik nichts mit der Energie der Bewegung zu tun (die Energie entspricht ja der Frequenz). In der Quantenmechanik beschreibt die Amplitude die Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Solange wir also ein Teilchen haben, bleibt die Amplitude einer stationären Schwingung konstant.
Bei einem quantenmechanischen System kann die Energie also nicht niedriger sein als diejenige Energie, die der niedrigstmöglichen Frequenz (Grundschwingung) entspricht. Dieser Grundzustand mit der niedrigst möglichen Energie ist stabil, ein weiterer Energieverlust durch Abstrahlung ist im Grundzustand nicht mehr möglich, da es keinen Zustand mit geringerer Frequenz mehr gibt. Diese Beobachtung ist die Ursache für die Stabilität der Atome.

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Hinweise für LehrerInnen - Beobachtung des Interferenzmusters hinter dem Doppelspalt

In diesem Kapitel soll die Interferenz von Wellen am Beispiel des Doppelspalt-Experiments erläutert werden. Interferenz von Wellen wird auch hier gezeigt.

Das Interferenzmuster einer Welle, die am Doppelspalt gebeugt wird, zeigt räumlich feststehende Zonen, in denen so gut wie keine Wellenbewegung stattfindet (Zonen der Auslöschung durch destruktive Interferenz). Die Welle ist nach wie vor auch hinter dem Doppelspalt als bewegte Abfolge von Wellenbergen und Wellentälern sichtbar. Dieses Faktum verdient Erwähnung, weil bei Teilchenstrahlen eine derartige Struktur eben nicht sichtbar ist. Bei einer klassischen Welle ist die "Wellenauslenkung" (="Wellengröße") beobachtbar.

Als Interferenzmuster wird das stationäre räumliche Muster von Auslöschungs- und Verstärkungszonen der Intensität bezeichnet. Es bietet sich an, den Begriff der "Intensität" an dieser Stelle zu wiederholen.

Die Wellenintensität an einem gegebenen Ort ist das Quadrat der maximalen Auslenkung (Amplitude) an diesem Ort. Bei Licht beschreibt die Intensität die Helligkeit.

Die Intensität ist auch an einer quantenmechanischen Welle beobachtbar. Die quantenmechanische Wellengröße selbst (also der Wert der Wellenfunktion) ist aber prinzipiell nicht beobachtbar (sondern nur indirekt aus dem beobachtbaren Interferenzmuster in der Intensität erschließbar).

Mögliche Aktivität mit Schülern: Berechnung der Winkel, unter denen Auslöschung erfolgt.

Beobachtung: Innerhalb der beiden Spalte schwingt die Welle "im Gleichtakt". Von den beiden Spalten breiten sich annähernd kreisförmige Wellen aus.

Die Interferenz kann erklärt werden, wenn man annimmt, dass die beiden Teilwellen einfach addiert werden.

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Hinweise für LehrerInnen - Physik des Wasserstoffatoms

Die Physik des Wasserstoffatoms kann auf der Grundlage der bisher diskutierten Inhalte ohne weitere Bezugnahme auf ältere Atommodelle erklärt werden.

Die Gedankenkette besteht dabei im wesentlichen aus folgenden Schritten:

1) Quantenmechanische Wellenpakete können durch den Einfluß eines anziehenden Kraftzentrums zu annähernd kreisförmigen Bewegungen gezwungen werden. Sie verteilen sich dann mehr oder minder gleichmäßig um den Atomkern.

2) Ideale Kreisbewegungen werden durch ringförmige Wellenpakete repräsentiert. Eine ganze Zahl von Wellenlängen muss auf so einem Ring Platz finden. Je kleiner diese Anzahl, desto kleiner der Radius des Ringes.

3) Überlagerungen von ringförmigen Wellenpaketen mit gegenläufigem Umlaufsinn führen auf stationäre Schwingungen.

4) In drei Dimensionen können die stationären Schwingungen durch die Form und Anzahl der Schwingungsknotenflächen klassifiziert werden.

5) Zu jeder Schwingung gehört eine bestimmte Energie (=Frequenz); diese ist also quantisiert. Je mehr Schwingungsknoten (also auch Schwingungsbäuche dazwischen), desto höher die Frequenz und somit die Energie.

6) Die Form der stationären Schwingung bestimmt auch die anderen Quantenzahlen, also den Betrag des Drehimpulses und den Drehimpuls um eine festgewählte Drehachse.

7) Übergänge zwischen den stationären Schwingungszuständen können nur erfolgen, wenn die Energiedifferenz durch Photonen zu- oder abgeführt wird.

Der Unterricht kann durch eine Darstellung der Spektroskopie und der wichtigsten Ergebnisse ergänzt werden. (Frequenzspektrum, Spektralfarben, Spektrallinien, Erklärung durch Übergänge in der Elektronenhülle)

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波ーまもなく最も重要になるもの(教育的注釈)

正弦波の代わりに複素平面上の波が量子力学の状態になる。粒子の物理的状態は波の大きさを通して記述される。 波数kは運動量に比例し、角振動数ω はエネルギーに比例する。(非相対論的な力がはたらいていない粒子に対しては、 運動エネルギーはそれはいつでも正であるが(翻訳元の文章が途中のようです。))

波数(波長)と角振動数(周期)の概念の良い知識は、量子力学の理解のために必要です。これらの概念は、ここで短く定義され、もっとも重要な公式があげられます。

以下のことが仮定されます。波とそれに関連した概念を構築することは、まもなく講義されます。そうではない場合は、角振動数、波数、波の速度はほんの少しの時間がささげられなくてはなりません。また、位相速度v=ω/kは議論されなくてはなりません。

おそらく、以下のことは意味があるでしょう。 調和振動子の波の運動を以下の一般的な関係の中におくことはたぶん意味があるでしょう。(関数の変形/移動)

1)関数h(x)=f(kx)、(k>0)という関数のグラフは、fのグラフから(k<1)は水平方向に引き延ばすことによって、あるいは(k>1)縮めることによって得ることができます。k<0の場合は、fのグラフは垂直な軸のところで鏡映されます。

2)f(x)=sin(x)は空間的な周期(波長)、2πをもっています。従ってh(x)=sin(kx)は2π/kの波長を持っています。

3)g(x)=f(x-a)のグラフは関数f(x)のグラフを右方向にaだけ移動することによって得られます。

4)xを一つの場所座標、tを一つの時間座標とします。vが正の場合は、式f(x-vt)は、時間に依存するずらし、vtだけ右側に移動することによって得られます。関数fのグラフは右方向に速度vで動きます。

5)関数sin(kx-ω t)=sin[k(x-(ω/k)t)]=f(x-vt)(ここでf(x)=sin(kx))は、波長が2π/kの波でv=ω/kの速度で右側に動く(v>0)波を記述します。

量子力学を考慮して、われわれはωを通常、正に選びます。 それにたいして、k(それゆえk)は(右への運動の場合は)正、あるいは(左への運動の場合は)負に選ぶことができます。

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定在波 - 教育的注釈

定在波についてのこの節の主目的は、以下の知識についての斡旋です、 ひとつの止まった振動(空間的に固定した振動の節)は前に進む波(後ろに進む波)の重なりの結果でありえます。
重ね合わせることは物理においてはまた(線形)重ね合わせとして知られています。 対応した波動方程式の解の線形結合が重要です。線形波動方程式においては、そしてシュレディンガー方程式においては、重ね合わせを通して、 既に求められていた解から新しい解を作り上げられます。量子力学においては、 後で議論する波束というものをシュレディンガー方程式の与えられた境界条件を満たすような解によって作ります。
基本的な調和振動子の波から新しい振動解・新しい波動解を作り上げることは振動波の一般的な方法です。

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振動する弦 - 教育的注釈

量子力学との関連

振動しているひとつの引っ張られた弦は量子力学のために非常に重要なのです。透過することができない壁を持った箱の一粒子に対するシュレディンガー方程式は空間次元で全く同じような解を持ちます。振動している弦はシュレディンガー方程式のひとつの解の実部です。
古典的な振動している弦の固有振動:
sin(kx) cos(wt)
ディリクレ境界条件を持ったシュレディンガー方程式の解(通過できない壁を持った一次元の箱の中の粒子):
sin(kx) exp(i wt)
古典的な振動をしている弦は量子力学に対して不連続なエネルギーを持った定常状態の実現を描きます。完全に決められた振動数(「固有振動数」)においてのみ、はられた弦は空間的に固定した振動の節を持った(「固有振動」)定在振動を満たします。振動している弦の振動数はまた量子化されます。ひとつの安定した振動は勝手な振動数のところで起こるのではなく、システムの固有振動数のところでのみ起こります(振動している弦の固有振動)。
安定した振動というのは、ひとつの定在波に他なりません。それは反対に進む波の重ねあわせと考えることもまたできます。量子力学においては、波の現象の振動数はそれによって記述される粒子のエネルギーに比例します。そこで固有振動の存在が不連続なエネルギーレベルの存在、すなわちエネルギーの量子化を説明します。
それぞれのエネルギー順位は粒子の安定した状態に対応しています(定在波=粒子を記述している波動関数の安定した振動)。この状況はより高い空間次元においても - したがって、振動している膜(2次元)と止まっている空間の空洞(3次元)における止まっている波においても、同様である。
また、原子の不連続なエネルギーレベルも安定した振動の固有振動数に他なりません。唯一の違いは波動関数が空間の空洞の壁を通して制限されているわけではなく、原子核の力によって束縛されていることである。

数学的なモデル構築

引っ張られた弦の減衰しない安定した振動は現実のシステムでは見えない数学的な理想化であるということが示唆されるであろう。弾性変形において避けられない損失のため、あるいは固定された点における摩擦を通して、あるいは空気の抵抗のために等々、振動エネルギーは失われてそれぞれの運動は時間とともにぜんきんてきにはゼロになる。その時に高い振動数を持った振動からまず消えていきます。

非定常的な振動と重ね合わせ

固有振動の線形重ね合わせ(合わせること)を通して弦の非定常的な振動は発生することができる。張った弦をはじくと、普通は一つの固有振動ではなく、複雑な振動が生じます。固有振動の意味は以下のとおりです、すなわち全ての可能な弦の運動が固有振動の重ね合わせとして解釈することができる。数学的にはこの重ね合わせはフーリエ級数によって表すことができます。

量子力学においてもこのような重ね合わせは存在します。それは、時間に依存する状態で、その状態ははっきりとしたエネルギーは持っておらず、いくつものエネルギーの重ね合わせです。光子の輻射を通して高いエネルギーの状態はより低いエネルギーの状態に遷移します。エネルギーの輻射は摩擦によって減衰する振動する弦の量子力学的な類似です。

古典力学と違って量子力学における振動の振幅は運動のエネルギーとは全く関係がありません(エネルギーは振動数に対応します)。量子力学においては振幅は存在確率を表します。我々が一つの粒子を持っている限りは定常の振動の振幅は一定にとどまります。

ひとつの量子力学的システムにおいては、エネルギーは最も低い振動数(基準振動)に対応するエネルギーより低くなることはできません。この可能な最も低いエネルギーを持った基底状態は安定しています。輻射による更なるエネルギーの損失は基底状態においてはもう可能ではありません、何故ならより低い振動数を持った状態は存在しないので。このことが原子の安定性に対する原因です。

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波のダブルスリット干渉模様

この章においては波の干渉をダブルスリット実験を例として解説しました。波の干渉はここでも表示されています。

ダブルスリットのところで生み出された波の干渉模様は、波の動きの生じない、 空間的に固定した領域(破壊的干渉によって消えてしまった領域)を示します。 波は、ダブルスリットの後ろでもまた、相変わらず山と谷が順番に動いていくことによって視覚化されています。 この事実は言及に値します、なぜならば、粒子の流れにおいては、このような構造は見ることができないからです。 古典的な波においては、”波の?”(=”波の大きさ”)は観測可能です。

干渉模様として、強度の消えるところおよび強まるところの、一定の空間的模様が表示されます。 ”強度”という概念はここで繰り返すに値します。

与えられた場所における波の強度はその場所における最大の?(振幅)の二乗です。 光においては強度というのは明度を表します。

強度はまた量子力学的な波においても観察されます。 量子力学的な波の大きさ自身(波動関数の値)は原理的に観測ができません(そうではなく、 観測可能な強度の干渉模様から間接的に分かります)

生徒による可能な課題:そこで消滅が起こる全ての角度を計算しなさい。

観察:二つのスリットの後ろでは波は同じように振動しています。 二つのスリットからほぼ円形の波が外に広がっています。

干渉というのは、二つの波の部分を単につけ加えたと仮定すれば説明できます。

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